Tienes muchos comentarios en el sentido de que "la topología es necesaria para describir la continuidad, los conceptos de cálculo, la noción de "apariencia", el homeomorfismo, etc.". Y todo esto es correcto, pero entiendo que tu pregunta se refiere a la imagen global. Además, lo siguiente se refiere principalmente a un toplológico o colector diferenciable; Enlace de Joshphysics muestra que hay muchos otros conceptos de colector.
Comenzamos con la noción de "parece localmente $\mathbb{R}^N$ "; pero se puede tener un conjunto $\mathbb{M}$ de cualquier tipo de criaturas extrañas cuyos subconjuntos se pueden poner en correspondencia uno a uno, surjetivo con algunos Abrir (más sobre esto a continuación) subconjunto de $\mathbb{R}$ (que es una vecindad simplemente conectada del origen). Para uno de estos subconjuntos $\mathcal{N}$ tienes un mapa "etiquetador" $\lambda:\mathcal{N}\to\mathbb{R}^N$ . Entonces las nociones de Abrir , barrio y todo lo demás surge por definición un subconjunto $\mathcal{O}\subset\mathcal{N}$ está abierto si $\lambda(\mathcal{O})$ está abierto en $\mathbb{R}^N$ . Igualmente un "camino" $\sigma:\mathbb{R}\to\mathcal{N}$ es $C^0,\,C^1\, C^\omega$ o lo que sea si $\lambda\circ \sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^N$ tiene la misma propiedad. Todos los conceptos de topología, vecindad, cálculo, diferenciabilidad y demás se definen entonces por "fiat", y la necesidad de los conceptos es la razón por la que queremos que nuestro zoo de criaturas raras "se parezca localmente a ". $\mathbb{R}^N$ " en primer lugar, por lo que todo esto es muy intuitivo y obvio.
Así que supongo (también por la lectura de tus otras preguntas de sondeo en este sitio) que ya entiendes todo esto. Así que la pregunta crucial es entonces la de mapas de transición y cómo pegar todas nuestras copias locales de $\mathbb{R}^N$ juntos . Volviendo a nuestro subconjunto $\mathcal{N}\subset\mathbb{M}$ :hay otras "copias locales" de $\mathbb{R}^N$ que otorgan nuestros conceptos topológicos / de cálculo, etc., a subconjuntos de $\mathbb{M}$ que no sea $\mathcal{N}$ . Pero estos subconjuntos deben solapamiento Porque, cuando estamos haciendo cálculo o topología o dinámica o lo que sea, no queremos encontrarnos de repente con un "muro de coordenadas" y tener que saltar repentinamente de un sistema de coordenadas a otro. Como ejemplo, supongamos que tenemos una nave espacial en un colector de Einstein (universo que es una solución al vacío de las EFE). Para el cálculo, la medición y otros conceptos matemáticos, necesitamos siempre poder definir el colector en un barrio alrededor de la nave espacial: por lo tanto, cuando la nave espacial se acerca a los límites de un sistema de coordenadas, también debe poder ser descrita por otro sistema de coordenadas en el que podamos esculpir una "vecindad": no podríamos hacerlo si nuestros sistemas de coordenadas no se superpusieran, sino que dividieran la variedad $\mathbb{M}$ . De otro modo, en la relatividad, el límite entre los sistemas de coordenadas es un artefacto de nuestra particular descripción matemática de la física, no no pertenecen a la física. Otro ejemplo, dramático, es el fenómeno de bloqueo del cardán en las cartas de ángulos de Euler para la esfera de la unidad que muy cerca les costó la vida a los astronautas del Apolo 11, les costó la vida a muchos pilotos en los años anteriores y es la razón por la que el software que procesa las señales de los giroscopios Sagnac de anillo de fibra que le mantienen seguro en un avión comercial manipula la orientación calculada del avión en dos cartas superpuestas que cubren $SO(3)$ o, más recientemente, modelar la orientación del avión mediante cuaterniones unitarios en $SO(3)$ de la doble tapa $SU(2)$ .
Por lo tanto, nuestra superposición es muy necesaria, por lo que muchas, si no todas, las regiones en el colector pueden ser descritas por más de una copia local de $\mathbb{R}^N$ con más de una etiquetadora. Así, supongamos que tenemos dos regiones $\mathcal{N}_1,\,\mathcal{N}_2$ con etiquetadoras $\lambda_1:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$ , $\lambda_2:\mathcal{N}_1\to\mathbb{R}^N$ : debemos asegurarnos de que estos etiquetadores rindan consistente nociones de apertura, vecindad, diferenciabilidad y todo lo demás en una región $\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$ . Así, un conjunto $\mathcal{O}\subseteq\mathcal{N}_1\cap\mathcal{N}_2$ debe estar abierto según lo que se calcula en la etiquetadora $\lambda_1$ y $\lambda_2$ y así $\lambda_1\circ\lambda_2^{-1}$ y $\lambda_2\circ\lambda_1^{-1}$ los "mapas de transición" entre gráficos, deben ser homeomorfismos locales, analíticos, difeomorfismos, o cualquiera que sea la noción relevante para el tipo de colector en cuestión. Lo mismo ocurre con todos los demás conceptos de cálculo y topológicos de los que queramos hablar. Esto se consigue más fácilmente si las cartas (rangos de los etiquetadores $\lambda_j$ ) son abiertas, y sus intersecciones son abiertas según lo calculado por todas las copias locales de $\mathbb{R}^N$ que son aplicables al solapamiento. Así que tenemos dos axiomas para los colectores además del obvio de que cada punto del colector debe pertenecer a la preimagen de al menos un etiquetador:
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Una intersección entre dos "parches" (dominios de etiquetadores) debe ser Abrir en la topología según lo calculado por cada uno de los dos etiquetadores para las cartas superpuestas;
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Los mapas de transición deben ser homeomorfismos locales, difeomorfismos, ....
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Algunos autores añaden también el axioma de que el colector debe ser Hausdorff ( $T_2$ ) en cada gráfico, sino en muchos campos, especialmente los grupos de Lie, $T_2$ se hace cumplir por otra estructura (las leyes de grupo) por lo que este axioma es redundante aquí.
La forma más fácil de hacerlo es equipar el colector globalmente con una topología cuya base son los conjuntos abiertos según sus imágenes bajo los etiquetadores, o, escrito al revés, la base de la topología es la colección de todas las preimágenes de los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^N$ bajo las etiquetas.
Es de esperar que puedas ver que la noción de consistencia, tal y como se cuenta en los gráficos superpuestos, y por lo tanto la noción de topología global del colector, está muy ligada al concepto físico de covarianza y la noción copernicana de que el comportamiento de la Naturaleza no puede depender de nuestra mera descripción de la misma.
