Demuestre que el conjunto de todas las permutaciones pares en $G$ forma un subgrupo de $G$ .

Question

Demuestre que si $G$ es cualquier grupo de permutaciones, entonces el conjunto de todas las permutaciones pares en $G$ forma un subgrupo de $G$ .

Sé que tengo que demostrar que las propiedades de cierre, identidad e inversa se mantienen. Así que tengo que demostrar:

1) Si $p$ y $q$ son permutaciones pares, entonces también lo es $pq$ .

2) La permutación de identidad es una permutación par

3) Si $p$ es una permutación par, entonces también lo es $p^{-1}$

No estoy seguro de cómo configurar cada prueba. Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $E$ sea el conjunto de permutaciones pares en $G$ (que presumiblemente es un grupo de permutaciones).

Dejemos que $p$ y $q$ sean elementos de $E$ .

Compruebe si $pq^{-1}$ también es un elemento de $E$ . (Nota: esto comprueba las tres condiciones simultáneamente).

Una permutación se llama par si su expresión como producto de ciclos disjuntos tiene un número par de ciclos de longitud par.

Alternativamente, una permutación se llama permutación par si se puede escribir como producto de un número par de transposiciones.

Estas dos definiciones pueden considerarse equivalentes. La segunda parece un poco más útil aquí.

Por lo tanto, dejemos que $p=p_1p_2\cdots p_{2k}$ y $q=q_1q_2\cdots q_{2j}$ sea una representación de $p$ y $q$ como producto de transposiciones.

Tenemos que $q^{-1}=q_{2j}q_{2j-1}\cdots q_2q_1$ ya que las transposiciones son autoinversas.

Así, $pq^{-1} = p_1p_2\cdots p_{2k}q_{2j}\cdots q_2q_1$ es efectivamente un producto de un número par de transposiciones. Además, $pq^{-1}$ es un elemento de $G$ desde $p$ y $q$ (y por lo tanto $q^{-1}$ ) son elementos de $G$ y $G$ es cerrado bajo productos e inversos.

Así, $pq^{-1}\in E$ lo que implica que la identidad es un elemento de $E$ (tomando $p=q$ ), que es cerrado bajo la inversa (tomando $p=id$ ), y que es cerrado bajo productos (tomando $q^{-1}$ en lugar de $q$ ) y $E$ es un subgrupo de $G$ .

Answer 2

Sugerencia: considere el siguiente mapa $$\operatorname{sgn}(p)=\begin{cases}1,\, p\,\text{even};\\-1,\,p\,\text{odd}.\end{cases}$$ Demuestre que es un homomorfismo de $G$ a $\{\pm1\}$ . ¿Cuál es su núcleo?