Confusión en la prueba del derivado de $u(x)/v(x)?$

Question

Estoy leyendo Hairer/Wanner: Análisis de Su historia. Estoy en problemas para entender esto:

$\;$

No entiendo por qué:

$$\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2+v\Delta v}=\frac{v\Delta u - u \Delta v}{v^2}\cdot \left(1- \frac{\Delta v}{v}+ \frac{\Delta v^2}{v^2}\pm \dots \right)$$

Traté de hacer lo siguiente:

$$\frac{ (\text{$\Delta $u} v-\text{$\Delta $v} u)}{v^2+\text{$\Delta $v} v}x=\frac{\text{$\Delta $u} v-\text{$\Delta $v} u}{v^2}$$

Y la solución para $x$ rendimientos:

$$x=\frac{v+\Delta v}{v}$$

Y luego supongo que:

$$\frac{v+\Delta v}{v}\stackrel{?}{=}\left(1- \frac{\Delta v}{v}+ \frac{\Delta v^2}{v^2}\pm \dots \right)$$

Sé que debería aplicar la fórmula para la serie geométrica aquí como dice el autor, pero mi duda es que el autor dice que debemos de utilizar la serie geométrica para $(1+\Delta v/v)^{-1}$, entonces es

$$\left[ \frac{v+\Delta v}{v}\right] \stackrel{?}{=}\left[ \left( \frac{v+\Delta v}{v} \right)^{-1}=\frac{v}{v+\Delta v}\right]$$

Answer 1

El punto es que:

$$\frac{1}{v^2+v\Delta v} = \frac{1}{v^2}\frac{1}{1+\frac{\Delta v}{v}}$$

y:

$$\frac{1}{1+w} = 1-w+w^2-\cdots$$

cuando $|w|

$$\frac{1}{v^2+v\Delta v} = \frac{1}{v^2}\left(1-\frac{\Delta v}{v} + \left(\frac{\Delta v}{v}\right)^2 - \left(\frac{\Delta v}{v}\right)^3 +\cdots \right)$$

Lo % numerador $v\Delta u -u\Delta v$es irrelevante para este paso.

Has puesto el $x$ en el lado equivocado de la ecuación. (Probablemente no debería utilizar $x$, pero lo que sea.) La conclusión de la prueba es que:

$$\frac{v\Delta u-u\Delta v}{v^2+v\Delta v} = \frac{v\Delta u-u\Delta v}{v^2} X$$ for some $X $, and that this $% $ $X=1-\frac{\Delta v}{v}+\dots$

Por lo que has puesto $X$ en el lado equivocado, que es por qué vas a encontrar de alguna manera la prueba necesita $\frac{v+\Delta v}{v}=\frac{v}{v+\Delta v}$.