¿Existen $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ tales que $f ' = f ^ {-1} $?

Question

Recientemente, la siguiente pregunta que se planteó: ¿existe un diferenciable bijection $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f'=f^{-1}$? (Aquí, $f^{-1}$ es la inversa de $f$, con respecto a la composición de funciones.) La respuesta, como resulta, es negativo, debido a que un bijection es monótona, lo que implica que la derivada no puede ser bijective.

Al parecer no existen tales problemas si en lugar de buscar un bijection $f:(0,\infty)\a(0,\infty)$ tal que $f'=f^{-1}$, por lo que la siguiente variante de la pregunta me parece interesante:

¿Existe un diferenciable bijection $f:(0,\infty)\a(0,\infty)$ tal que $f'=f^{-1}$?

(Edit: como se mencionó al final de esta pregunta, la cuestión de la existencia ha sido resuelto. Es la solución única?)

He aquí la primera idea: si hay una función $f:(0,\infty)\a(0,\infty)$ tal que $f'(x)=f^{-1}(x)$ tiene para todo $x\in(0,\infty)$, entonces $$f'(f(x))=f^{-1}(f(x))=x$$ también debe mantener para todo $x$, dado que $f$ es bijective. Esto inmediatamente nos recuerda la regla de la cadena, por lo que se multiplican por $f'(x)$ para producir $$f'(f(x))f'(x)=xf'(x)$$, que es equivalente a $$f'(f(x))f'(x)=xf'(x)+f(x)-f(x).$$ Esto implica (integrar desde $1$ $x$, por ejemplo) que no es una primitiva de la función $F$ de $f$ tal que $$f(f(x)) = x f(x) - F(x)$$ vale para todo $x\in(0,\infty)$, por lo que podemos tratar de resolver esta ecuación en su lugar. No sé si esto es más fácil que el problema original, aunque. Tal vez algún tipo de punto fijo principio podría funcionar para mostrar la existencia?

Sería muy bonito si resulta que hay una buena caracterización de tales funciones.

Edit: En el enlace señalado por Christian Blatter en los comentarios, no es una solución explícita ($f(x)=\frac{x^\phi}{\phi^{\phi-1}}$, donde $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ es el cociente de oro), así que tal vez también sería interesante saber:

Es esta solución es única?

Answer 1

No puedo encontrar una solución general para este. Pero me pueden encontrar: El dado DE eqn. es equivalente a $$ \frac{dg^{-1}}{dx} = g$$ $g = f^{-1}$. Y este es a su vez equivalente a $$ g^{-1}(x) = \int g(x)dx$$ o $$x = g(\int g(x)dx). $$ Trate $g = ax^n$. Entonces usted va a encontrar $$ x = a(\frac{a}{n+1}x^{n+1})^{n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)^{n}}x^{n(n+1)}.$$ Entonces por la fórmula de la raíz se encuentran dos $n$ a partir de la ecuación $n(n+1)=1$, y para estos $n$ que también se encuentra apto $a$.

Y probar si una combinación lineal de esta solución funciona, es decir, si el espacio de la solución es lineal.

Si lo anterior funciona, probablemente se puede extender esta idea aún más: que el hombre considere la posibilidad de cualquier función se puede expresar como una suma infinita, es decir, los polinomios de $\infty$ potencia.

Estos dos procesos, a pesar de que de hecho pueden trabajar, no va a ser tan fácil, supongo.