¿El producto$\prod_{k=1}^\infty \frac{2^k-1}{2^k}$ necesariamente$0$?

Question

Tengo el producto $\prod_{k=1}^\infty \frac{2^k-1}{2^k}$. Sé que cada uno de los sucesivos producto parcial será necesariamente menor que el anterior, ya que estamos multiplicando siempre por un número menor que 1. Pero, como la expresión que sigue creciendo como k hace, y lo hace muy rápido, ¿este producto en realidad convergen en una constante diferente de $0$? Traté de calcular el primer parcial de los productos, pero acabo de ver que los términos mantenido acercarse a $0.28$. Se ve como un número aleatorio, se trata simplemente de un caso de lenta convergencia a $0$? No tengo idea de cómo calcular esto, cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Tome el logaritmo del producto parcial:$$A_n = \ln\left(\prod_{k=1}^n \frac{2^k - 1}{2^k}\right) = \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 - \frac{1}{2^k}\right)$ $ Ya que$-x - x^2 \le \ln (1 - x) \le -x$, podemos vincular la suma anterior como$$ - \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} \le A_n \le - \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} $ $ Entonces$$ -1-\frac13 \le \ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{2^k - 1}{2^k}\right) \le -1$ $$$ 0.2636 \approx e^{-\frac43} \le \prod_{k=1}^\infty \frac{2^k - 1}{2^k} \le e^{-1} \approx 0.3679$ $
Así que el producto no es cero.

Si desea calcular el valor exacto. Un cambio de suma doble lleva a esto:$$ \ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{2^k - 1}{2^k}\right) = - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(2^k-1)}.$ $

Answer 2

En general un infinito producto $\prod_{k=1}^{\infty}(1+a_k)$ sólo tiene una oportunidad de converger (a algo distinto de cero) si $a_k\rightarrow 0$; y si $a_k\rightarrow 0$$\sum_k |a_k|^2 < \infty$, entonces el producto converge iff $\sum a_k$ converge. En su caso, $a_k = \frac{2^k-1}{2^k}-1=-2^{-k}$, que va de cero con la suficiente rapidez que $\sum_k |a_k|^2 < \infty$ $\sum a_k$ converge, y por lo tanto, el producto también converge. Ahora, en cuanto a lo que converge a, $$ \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 - 2^{-k}\right)=\sum_{m=0}^{\infty}2^{m}(n_m - p_m), $$ donde $n_m$ (resp. $p_m$) es el número de particiones de $m$ a un extraño (resp. incluso) número de partes distintas. A esto se le conoce a la igualdad de $$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left((1/2)^{n(3n+1)/2} + (1/2)^{n(3n-1)/2}\right)=1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(2^n+1)}{2^{n(3n+1)/2}}\\=1-\frac{3}{4}+\frac{5}{2^7}-\frac{9}{2^{15}}+\frac{17}{2^{26}}-\ldots \aprox 0.28879, $$ con signos diacríticos de convergencia.

Answer 3

Recordando que $ q$-Pochhammer symbol is defined as $ $ \ left (a, q \ right) _ {\ infty} = \ prod_ {k \ geq0} \ left (1-aq ^ {k} \ right)$$ we have $ $ \ prod_ {k \ geq1} \ left (1- \ frac {1} {2 ^ {k}} \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2} \ right) _ {\ infty}$$ and it's value is $ \ approx0.289 $.