¿Cuáles son todos los isomorfismos de $\mathbb{K}[x] \to \mathbb{K}[x]$?

Question

Deje $\mathbb{K}$ ser un campo. Muestran que el $\mathbb{K}-$isomorfismo $\mathbb{K}[t]\to \mathbb{K}[t]$ está dado por $t\mapsto t-a.$

He demostrado que es un isomorfismo como, Deje $\psi : \mathbb{K}[t]\to \mathbb{K}[t] $ tal que $\psi(t)=t-a. $

$\mathbf{\psi}$ es un isomorfismo.

1. $\psi(f(t)+g(t))=\psi((f+g)(t))=(f+g)(t-a)=f(t-a)+g(t-a)=\psi(f(t))+\psi(g(t))$

2. $\psi(f(t)\cdot g(t))=\psi((f\cdot g)(t))=(f\cdot g)(t-a)=f(t-a)\cdot g(t-a)=\psi(f(t))\cdot \psi(g(t))$

3. $\ker(\psi):=\{f(t)\in \mathbb{K}[t] : \psi(f(t))=0\}=\{f(t)\in \mathbb{K}[t] : f(t-a)=0\}=\{f(t)\in \mathbb{K}[t] : f\equiv 0\} $.

Por eso,$\psi$$1-1$.

4. Para surjectivity, si $f(t)\in \mathbb{K}[t]$$\psi(f(t+a))=f(t)$.

Por lo tanto, este es un isomorfismo.

Ahora, para mostrar que cualquier otro isomorfismo envía $t$ a un polinomio lineal, suponga $\phi$ ser cualquier isomorfismo y $\phi(t)=f(t)\in \mathbb{K}[t].$ Deje $f(t)=\sum_{i=0}^na_it^i.$ Ahora la demanda es que $a_i=0, \forall i\ge 2.$

Después de que me quedé qué hacer. Así que por favor ayuda.

Answer 1

La herramienta habitual para este tipo de problemas es una función euclidiana (en francés, una "stathme"), para este particular dominio euclidiana, esto es el grado de $d$.

Aquí, si $\phi(t)=f(t)$, entonces para todas las $P\in K(t)$, $\phi(P)=P\circ f(t)$, que $d(\phi(P))=d(P)\times d(f)$ %.

Si no la imagen de $d(f)>1$ $d(\phi(P))>1$, entonces el $P$ para todos no-constante Polinómico $t$, que $\phi$. Y su recíproco.

Answer 2

Si tienes un polinomio

$$ f(t) = \sum_{n} a_n t^n $$

entonces

$$ \psi(f) = \sum_n a_n \psi(t)^n. $$

Esto implica la fórmula

$$ \deg \psi(f) = \deg \psi(t) \deg f. $$

Si $\deg \psi(t) \ne 1$ entonces esto provoca problemas.