Axiomas de Trigonometría

Question

En Wikipedia se muestra una imagen de todas las funciones trigonométricas de un ángulo colocadas sobre el círculo unitario, 1. Obviamente existen otras identidades trigonométricas, pero me pregunto, ¿tiene la Trigonometría una lista de axiomas, o es simplemente un caso especial de geometría analítica? Y si es así, ¿cómo encaja en el resto de las matemáticas, porque pareciera que la veo en todas partes?

Answer 1

Diría que el punto de vista moderno es que las funciones trigonométricas se ven mejor a través de la lente del análisis complejo. Desde este punto de vista, no hay "axiomas de la trigonometría" reales. En particular, definimos:

$$\cos(z) = \frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz} \right) \qquad \sin(z) = \frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz} \right)$$

Nota que todas las funciones trascendentales que aparecen arriba pueden definirse como soluciones a ciertos problemas de valores iniciales:

• La función exponencial es la única función suave $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ que satisface: $$f'(z) = f(z), \qquad f(0) = 1$$

• La función coseno es la única función suave $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ que satisface:

$$f''(z) = -f(z), \qquad f(0) = 1, \,f'(0) = 0$$

• La función seno es la única función suave $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ que satisface:

$$f''(z) = -f(z), \qquad f(0) = 0, \,f'(0) = 1$$

Esto significa que la función exponencial es un vector propio de la diferenciación compleja (con valor propio $1$), y que el seno y el coseno son vectores propios de la diferenciación compleja iterada dos veces (con valor propio $-1$).

No obstante, la geometría euclidiana ciertamente puede recibir un tratamiento bastante abstracto; consulta mi pregunta aquí, y en particular, asegúrate de revisar el Geometry de Audin. Este libro merece fácilmente una calificación de 5 estrellas. Pero diría que las funciones trigonométricas "vienen primero", por así decirlo, y existen independientemente de la geometría.

Answer 2

Como se concibe y se enseña habitualmente la trigonometría en el nivel escolar, no es necesario tener axiomas:

Los conceptos básicos de la trigonometría son puntos, rayos, triángulos (y las razones de sus longitudes), y círculos, cuyos axiomas provienen de la geometría euclidiana (o esférica, o hiperbólica) del plano.

Alternativamente, como menciona, la trigonometría puede expresarse en geometría cartesiana (es decir, coordenadas), cuyas propiedades se basan en axiomas para los números reales.

Es decir, la trigonometría es realmente una colección de resultados sobre las razones de los lados de triángulos rectángulos, las posiciones de puntos en el círculo unitario, ciertas funciones "analíticas" y la red de interrelaciones entre estos puntos de vista.

Dicho esto, existen múltiples enfoques para la trigonometría (geometría euclidiana, geometría de coordenadas, analítica...), cada uno con sus propias definiciones y teoremas.

Es difícil enumerar todas las formas en que la trigonometría encaja en las matemáticas, porque hay tantos lugares donde los círculos aparecen abiertamente, o acechan debajo de la superficie. (El análisis de Fourier viene inmediatamente a la mente.)