Integrar $\ln(2-x)dx$

Question

Quiero aprender a integrar esto. Si usted puede mostrarme un enfoque paso a paso que sería impresionante.

Si además pudieras indicarme algunos buenos tutoriales sobre integración sería la guinda del pastel.

¿Qué hace $dx$ ¿quieres decir? Sé que su delta $x$ y tiras muy pequeñas o algo así (en realidad no estoy muy seguro...). Si es tan diminuto ( $\rightarrow 0$ ?), ¿por qué no es todo el asunto $0$ desde $x * 0 = 0$ donde $x$ es $\ln(2-x)$ ?

Answer 1

Vale, ya que tengo tiempo, picaré, ya que es evidente que careces de formación matemática para entender el resto de las respuestas. La integración definida es la suma de trozos infinitamente pequeños para sumar un área bajo una curva C. La definición de una integral definida es ; Dada una función que es continua en el intervalo $[a,b]$ dividimos el intervalo en $n$ subintervalos de igual anchura $\Delta x$ y de cada intervalo elegir un punto $x_i$ . Entonces $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$$

Sin embargo, la integral que has pedido es indefinida, lo que equivale a la antiderivada de $f$ lo que significa que después de resolver esto, si diferenciamos el resultado obtendremos $\ln(2-x)$ . Hay muchas técnicas de integración que tendrás que aprender para abordar cada integral, sin embargo recuerda que algunas funciones no tienen antiderivada en términos de funciones elementales y algunas no tienen ninguna.

Empecemos con la sustitución en u (que es lo que necesitas para este problema tuyo). Vamos a tratar de manipular las cosas bajo el signo de la integral (que se llaman el integrando) con el fin de colapsar esta integral a uno más fácil que está en la tabla de integrales (o simplificar lo suficiente para volver a manipularlo, pero eso es un poco más complejo, vamos a seguir con su problema simple).

En primer lugar, tienes que aprender esta fórmula;

Si dejas que $u=2-x$ entonces necesitas $du$ que se obtendrá por diferenciación $u$ con respecto a $x$

Así que vamos a evaluar $\frac{d}{dx} u= \frac{d}{dx} (2-x)=\frac{d}{dx} 2 -\frac{d}{dx} x=0-1=-1$ Ahora bien, si un matemático ve esto se acobardará, pero para simplificar, vamos a tratar $dx$ algebraicamente. Así que tienes $\frac{du}{dx}=-1 \iff du=-dx$

Volvamos a la integral e insertemos estos nuevos valores;

$$\int \ln(2-x) dx= \int \ln (u)(-du)=\int -\ln (u) du$$

Ahora tenemos que aprender una nueva propiedad integral que dice $$\int -f(x) dx=-\int f(x) dx$$

Utilicemos esos nuevos conocimientos y consigamos

$$\int -\ln (u) du=-\int \ln (u) du$$

Tal vez esto sea demasiado, así que no introduciré la técnica de integración por partes para resolver esta integral, ya que de todas formas está en tablas integrales y sólo copiaremos el resultado. Una parte importante a tener en cuenta es que tenemos que añadir una constante arbitraria al resultado, ya que si diferenciamos que va a desaparecer (recuerde, obtenemos la antiderivada) de todos modos (pero podría haber estado allí, no lo olvides nunca).

Finalmente conseguimos esto;

$$-\int \ln (u) du=-u (\ln(u)-1)+\mathrm{constant} \stackrel{u=2-x}{=}-(2-x)(\ln(2-x)-1)+\mathrm{constant}$$

A partir de aquí todo es álgebra.

Ahora todo esto puede parecer un poco fuera de lugar o incluso contraintuitivo, pero todavía estás en camino de aprender una nueva rama en las matemáticas, llamada cálculo, que me parece bastante hermosa e intrigante. Yo empecé una vez donde tú estás y ahora mi afición es intentar resolver integrales difíciles.

EDIT; Aquí hay otra forma más rápida de tratar tu problema si no tienes conocimientos de cálculo, y no queremos introducir un montón de cosas nuevas.

Dejemos que $f(x)=2-e^x$ que es la inversa de $g(x)=\ln(2-x)$ . Entonces $f(y)=2-e^y$ .

Utilizaremos la fórmula $$\int f^{-1}(x)\,dx= x f^{-1}(x)-F\circ f^{-1}(x)+C$$ donde $F$ es la antiderivada de $f$ .

Evaluemos $F(y)$ (utilizando algunas propiedades integrales básicas)

$$\int 2-e^y dy=\int 2 dy-\int e^y dy= 2y-e^y+c$$

Ahora vamos a evaluar (usando la función y las propiedades logarítmicas)

$$F\circ f^{-1}(x)=2(\ln(2-x))-e^{\ln(2-x)}+c=2\ln(2-x)-2+x+c=x+2 (\ln(2-x)-1) +c$$

Tenemos todas las piezas de la fórmula, así que las sustituimos directamente;

$$\int \ln(2-x) dx=x(\ln(2-x))-(x+2 (\ln(2-x)-1)))+c=$$

Que después de la manipulación algebraica da el mismo resultado que el anterior.

Este es un caso especial en el que este teorema podría simplificar las cosas para su caso. Normalmente dificulta las cosas, así que no lo utilices en todas las integrales. Limítate a las técnicas de integración normales.

Answer 2

La integración por partes es la clave: $$\begin{eqnarray*}\int \log(2-x)\,dx &=& x\log(2-x)+\int \frac{x\,dx}{2-x} = x\left(\log(2-x)-1\right)+2\int\frac{dx}{2-x}\\&=&(x-2)\log(x-2)-x.\end{eqnarray*}$$

Answer 3

Lo primero que podrías hacer es un u-sub. Deja que $2-x=t$ entonces la integral es de la forma $-lnt*dt$ Ahora bien, esta es una integral estándar que es $tlnt-t$ A continuación, puede volver a sub para obtener $(2-x)ln(2-x)-(2-x)$ y puedes combinar ese -2 con una nueva constante.

Ahora bien, ¿cómo llegamos a ese $tlnt-t$ ? Eso lo puedes hacer haciendo otro u-sub. Deja que $lnt=v$ para que $t=e^v$ y su integral se convierte en $ve^v*dv$ Esto puede hacerse con la integración por partes.