Si $A\subset\mathbb{R}$ y A es contable, entonces A es la unión de un número contable de conjuntos no densos.

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta con la definición específica de pregunta que: un conjunto $A\subset\mathbb{R}$ no es denso en ninguna parte si para dos puntos cualesquiera $c<d,\exists a<b\ s.t.\ [a,b]\subset[c,d]$ y $[a,b]\cap S=\varnothing.$

Si A es contable, demuestre que A es la unión de un número contable de conjuntos no densos (Pista: Singleton).

Sé que las uniones contables de conjuntos contables son contables, pero no tengo ni idea de cómo demostrar que un único conjunto no es denso en ninguna parte utilizando sólo la definición proporcionada. Entiendo que el interior de un cierre debe estar vacío también, pero no dado que, y no estoy seguro de cómo derivar que a partir de la definición dada.

Mi argumento actual va con que A es un singleton por ser contable, $$ [a,b]\cap A=\varnothing\Rightarrow([a,b]\cap A)^\circ=(\varnothing)^\circ\Rightarrow[a,b]^\circ\cap A^\circ=\varnothing\Rightarrow(a,b)\cap \varnothing=\varnothing. $$

¿Es esto suficiente?

Answer 1

Dejemos que $A = \{a_n\}_{n = 1}^\infty$ . Entonces también podemos escribir $A = \bigcup_{n = 1}^\infty \{a_n\}$ . ¿Es esta unión contable? Basta con demostrar que si $x \in \mathbb{R}$ entonces el singleton $\{x\}$ no es denso en ninguna parte.

¿Por qué es así? Un conjunto $A$ no es denso en ninguna parte si en cada intervalo $(a, b)$ en $\mathbb{R}$ podemos encontrar algún subintervalo $(c, d)$ tal que NINGÚN punto de $A$ están en $(c, d)$ . Contrasta esto con la definición de densidad; un conjunto $A$ es denso si se da cualquier intervalo, siempre hay un punto de $A$ dentro de este intervalo.

¿Cómo demostrar que un conjunto de un punto no es denso en ninguna parte? Sea $(a, b)$ sea un intervalo en $\mathbb{R}$ . Si $x \leq a$ o $x \geq b$ , hemos terminado (desde entonces $x$ no está en $(a, b)$ en absoluto). Supongamos entonces que $a < x < b$ . Entonces el intervalo $(a, x)$ está contenida en $(a, b)$ pero $x \not\in (a, x)$ .