Me dijeron que el enredo de la entropía $S_E$ en el estado fundamental de una (1+1)D la teoría conforme de campos (CFT) de la siguiente manera el comportamiento logarítmico $S_E=\frac{c}{12}\ln L$ donde $L$ es la escala de longitud entre el enredo de las cortes. No sé cómo el CFT funciona, así que me gustaría convencerme de que a partir de un caso especial, dicen que el quirales (y gratis) fermión.
Mi pregunta es cómo calcular la entropía de entrelazamiento 1D quirales fermión el uso de la 2ª cuantización idioma sin hacer referencia a bosonization o asignación de CFT?
Aquí está mi intento de abordar el problema. Supongamos que tenemos un quirales fermión de la cadena descrita por el Hamiltoniano $H=\sum_k k c_k^\dagger c_k$. Considerar el estado del suelo (en el cero de temperatura), sería $|\psi\rangle=\prod_{k<0}c_k^\dagger |0\rangle$. La densidad de la matriz puede ser construida desde el estado fundamental como $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$. Entonces que debo hacer enredo cortes para separar el sistema en los sectores a y B. Seguimiento de la fermión grados de libertades en B para obtener la reducción de la densidad de la matriz $\rho_A=\mathrm{Tr}_B\rho$. Entonces que se supone que debe diagonalize $\rho_A$ encontrar el enredo de espectro y evaluar el enredo de la entropía.
Pero cuando traté de trabajar los detalles, estaba pegado en los últimos pasos. Permítanme ilustrar lo que he obtenido hasta ahora. Primero para entender la estructura de $\rho$, empecé a partir de la función de correlación, y se encontró $$\begin{split} \mathrm{Tr}\rho c_{x_1}^\dagger c_{x_2} &= \langle c_{x_1}^\dagger c_{x_2} \rangle\\ &=\sum_{k_1 k_2}\langle c_{k_1}^\dagger c_{k_2}\rangle e^{i(k_2 x_2-k_1x_1)}\\ &=\sum_{k<0} e^{ik(x_2-x_1)}\\ &\simeq \frac{i}{x_1-x_2},\end{split}$$ donde $x_1$ $x_2$ son dos espacial de las coordenadas restringido en el sector de A. de Modo que en el de una partícula en el subespacio, la densidad de la matriz debe ser $$\rho_{A1}=\int_0^L\mathrm{d}x_1\int_0^L\mathrm{d}x_2\;c_{x_1}^\dagger\frac{i}{x_1-x_2}c_{x_2}.$$ También me di cuenta de que en el cero de la partícula en el subespacio, la densidad de la matriz es simplemente la identidad de $\rho_{A0}=1$. Así que me gustaría generalizar que en el $n$ de las partículas del espacio, la densidad de la matriz debe ser $\rho_{An}=\rho_{A1}^n$. (Dime si me equivoco aquí.) A continuación, la reducción de la densidad de la matriz sería $$\rho_A=\sum_{n=0}^{\infty}\rho_{An}=(1-\rho_{A1})^{-1}.$$ Así que aquí es donde me detuve. No puedo averiguar cómo diagonalize la reducción de la densidad de la matriz $\rho_A$. Incluso para $\rho_{A1}$, no sé cómo lidiar con ella. El enredo de las cortes rompe el espacio simetría traslacional, y no puedo hacer diagonalización por la transformada de Fourier para el impulso de espacio. Incluso si he probado algunos datos numéricos mediante la discretización de los eigen valores varía de negativo a positivo, y no puedo encontrar una pista. Agradecería mucho si alguien me pudiera ayudar desde aquí.
