Que $A,B\in gl(n)$. Entonces prueba %#% $ #%
He encontrado este teorema en este toma nota http://www4.ncsu.edu/~aalexan3/articles/liegroups.pdf pero no hay ninguna prueba. Soy nuevo a exponencial de matrices y no puede probar esto por mi.
Respuesta
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Sea $A,B \in \mathcal{B}(H)$ operadores acotados sobre un espacio de Banach $H$. Definición de $C := e^{(A+B)/k}$ y $D := e^{A/k}e^{B/k}$. Tenemos las siguientes estimaciones para la norma de $C,D$: %#% $ #% aplicando la fórmula de Cauchy-producto en $$|C|, |D| \leq \exp\left[\frac{|A| + |B|}{k}\right] = \exp(|A| + |B|)^{1/k} $ $D$ $ que permite legalmente la norma de $$ D = e^{A/k}e^{B/k} = \sum{i=0}^{\infty} \frac{(A/k)^{i}}{i!} \cdot \sum{j=0}^{\infty} \frac{(B/k)^{j}}{j!} = \sum{m=0}^{\infty} k^{-m} \sum{i=0}^{m} \frac{A^{i}}{i!} \cdot \frac{B^{m-i}}{(m-i)!}$ por\begin{align} |C-D| &= \left|\sum{i=0}^{\infty} \frac{([A+B]/k)^{i}}{i!} - \sum{m=0}^{\infty} k^{-m} \sum{i=0}^{m} \frac{A^{i}}{i!} \cdot \frac{B^{m-i}}{(m-i)!} \right| \ &= \left|\sum{i=2}^{\infty} k^{-i} \frac{(A+B)^{i}}{i!} - \sum{m=2}^{\infty} k^{-m} \sum{i=0}^{m} \frac{A^{i}}{i!} \cdot \frac{B^{m-i}}{(m-i)!} \right| \ &\leq \frac{1}{k^2} \cdot\left[ \exp(|A| +|B|) + \sum{m=2}^{\infty} \sum{i=0}^{m} \frac{|A|^{i}}{i!} \cdot \frac{|B|^{m-i}}{(m-i)!}\right] \ &= \frac{1}{k^2} \cdot\left[ \exp(|A| +|B|) + \sum{m=2}^{\infty} \frac{1}{m!}\sum{i=0}^{m} \binom{m}{i}|A|^{i} \cdot |B|^{m-i}\right]\ &= \frac{1}{k^2} \cdot\left[ \exp(|A| +|B|) + \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(|A|+|B|)^m}{m!}\right] \ &\leq \frac{2}{k^2} \cdot \exp(|A| +|B|) \end los rendimientos {align} obtenemos $C-D$ $ donde usé que $$| C^{k} - D^{k} | = \left| \sum_{m=0}^{k-1} C^{m} (C-D) D^{k-m-1}\right| \leq \exp(|A|+|B|)\cdot k \cdot |C-D|$ junto con la estimación de $|C|^m\cdot |D|^{k-m-1} \leq \exp(|A|+|B|)^{\frac{k-1}{k}} \leq \exp(|A|+|B|).$, esto $|C-D|$ $ que prueba la afirmación de los rendimientos.
