Medición de curvatura en Flatland

Question

Gauss Theorema egregium dice que

la curvatura Gaussiana de una superficie puede ser determina completamente mediante la medición de ángulos, distancias y sus tarifas en el la superficie de la misma.

Una superficie se parece a $\mathbb{R}^2$ localmente de modo que la suma de ángulos de arbitrariamente pequeños triángulos que tiende a $\pi$, ¿no? Sólo cuando se considera la más grande de triángulos - como Gauss hizo uno va a encontrar el ángulo de sumas divergentes de $\pi$. Así que me pregunto cómo - concretamente - un habitante de una forma arbitraria (pero sin problemas) superficie curva sería medir la curvatura de Gauss en un punto dado.

Answer 1

Fijar un ángulo de apertura y dibujar un triángulo isósceles geodésico con las dos piernas de longitud $r$ desde ese ángulo de apertura. Medir el defecto de ángulo.

Hacer esto muchas veces por una secuencia de $r\to 0$, parcela el defecto de ángulo frente al $r^2$. La pendiente límite sería la curvatura en el punto. Siempre y cuando la curvatura no cambia demasiado violentamente de un punto a otro, puede obtener una buena aproximación para pequeño pero finito $r$.

Answer 2

Vamos a uso normal de coordenadas. La circunferencia de un círculo de radio r alrededor de 0 en estas coordenadas es el dado por $$C(r)=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{g_{ij}\frac{dx^{i}}{d\phi}\frac{dx^{j}}{d\phi}}d\phi$$ where $x^{1}(\phi)=r \cos(\phi)$, $x^{2}(\phi)=r \sin(\phi)$. In these coordinates we have the expansion $g_{ij}=\delta_{ij}-\frac{1}{3}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O(\vert x \vert^{3})$, so by doing a little Taylor expansion $$C(r) = \int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2-\frac{r^4}{3}R_{1221}+O(r^{5})}d\phi=2\pi\left(r-R_{1221}\frac{r^3}{6}\right)+O(r^{4})$$ with derivative $$\frac{dC(r)}{dr}=2\pi-\pi R_{1221}r^2+O(r^{3})$$ Por lo tanto, uno podría tratar de medir la curvatura seccional (de acuerdo con la curvatura de Gauss en un local ortonormales marco como aquí, $K=R_{1221}$) mediante la medición de las circunferencias de los círculos alrededor de un punto y de investigar cómo es que depende del radio.