Construcción de una medida a partir de una función

Question

Un resultado bien conocido es que siempre podemos construir una función contablemente aditiva $\mu$ a partir de una función no decreciente y continua por la derecha $G$ . Más concretamente, definimos en el semiring $\mathcal{C}$ de todos los intervalos $(a,b]$ , $$\mu((a,b])=G(b)-G(a),$$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue cuando $G$ es el mapeo de identidad. Tengo curiosidad por saber si la siguiente función también obtiene esta propiedad:

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Fijar un conjunto contable $C=\{c_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{R}$ donde cada $c_n$ es distinto, y un conjunto contable $\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{R}$ donde cada $a_n$ es no negativo y $\sum_na_n<\infty$ .

Defina $G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$x\longmapsto\sum\{a_n:c_n\leq x\}.$$

Es decir, ¿es esta función continua y no decreciente? Además, ¿la medida $\mu$ construidas a partir de esta función satisfacen $\mu(\{c_n\})=a_n$ y $\mu(\mathbb{R}\backslash C)=0?$

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EDITAR: $G$ ser continua y no decreciente parece bastante fácil de ver. No decreciente es bastante obvio a partir de la propiedad de la $a_n$ 's y yo básicamente argumentado derecho-continuidad a mí mismo en el cuadro de comentarios a continuación.

Sin embargo, para la segunda parte, no estoy seguro de cómo abordar cualquiera de las propiedades. ¿Cómo interpretar $\mu(\{c_n\})$ para obtener sólo $a_n$ que queda en la resta? ¡Agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

Algunas pistas: Utilizando funciones indicadoras escriba $$G(x)=\sum_n a_n1_{[c_n,\infty)}(x).$$ No suponemos que el $c_n$ s están ordenados, de hecho bien pueden ser densos en $\mathbb{R}$ . No obstante $G$ es continua derecha ya que es el límite uniforme de $G_N(x)=\sum_{n=1}^N a_n1_{[c_n,\infty)}(x)$ , que son obviamente correctas continuas. La convergencia uniforme utiliza la sumabilidad de la secuencia $a_n$ .

Para $\varepsilon>0$ tenemos $G(c_n)-G(c_n-\varepsilon)=\sum_m a_m$ donde la suma es sobre todos $m$ con $c_n-\varepsilon<c_m\leq c_n$ . Aunque el conjunto de tales $c_m$ puede ser infinito para cada $\varepsilon>0$ el valor de $\sum_m a_m$ disminuye a $a_n$ como $\varepsilon\downarrow 0$ .

Así, tenemos $\mu(\{c_n\})=G(c_n)-G(c_n-)=a_n$ para cada $n$ . Desde $\mu(C)=\mu(\mathbb{R})=\sum_n a_n$ concluimos que $\mu(\mathbb{R}\backslash C)=0$ .

Answer 2

Sea $a=\sum\limits_na_n$ . Desde $\{c_n\}$ es la intersección decreciente de los conjuntos $]c_n-1/k,c_n]$ y la medida de éstas es finita, $\mu(\{c_n\})$ es el límite decreciente de $$ G(c_n)-G(c_n-1/k)=\sum\limits_ia_i\cdot[c_n-1/k\lt c_i\leqslant c_n]. $$ En $k\to\infty$ , $a_i\cdot[c_n-1/k\lt c_i\leqslant c_n]\to a_n\cdot[i=n]$ de ahí que el teorema de convergencia de Lebesgue demuestre que la RHS converge a $a_n$ .

Lo mismo digo, $\mu(\mathbb R)=a$ por definición y, por aditividad contable, $$ \mu(C)=\sum\limits_n\mu(\{c_n\})=\sum\limits_na_n=a, $$ de ahí $\mu(\mathbb R\setminus C)=0$ .