¿Podemos derivar la EDP seguida de una densidad de probabilidad de transición marginal?

Question

Un par de procesos estocásticos correlacionados siguen las EDEs $$\begin{align} dX_t&=a(t,X_t)\,b(t,Y_t)\,dt+c(t,X_t)\,d(t,Y_t)\,dW_t, &&X_0=\bar{x}\\ dY_t&=f(t,Y_t)\,dt+g(t,Y_t)\,dZ_t, &&Y_0=\bar{y} \end{align}$$ donde $W_t$ y $Z_t$ son movimientos brownianos correlacionados con correlación constante $\rho$ y $a,b,c,d,f,g$ son funciones suaves.

Sabemos que la densidad de probabilidad $p(t,x,y)$ del proceso que alcanza el estado $X_t=x$, $Y_t=y$, dada la condición inicial en $t=0$ satisface la ecuación de Kolmogorov directa (también conocida como ecuación Fokker Planck): $$p_t=-(abp)_x-(fp)_y+\frac{1}{2}(c^2d^2p)_{xx}+\frac{1}{2}(g^2p)_{yy}+\rho(cdgp)_{xy}$$

Sea $h(t,x)$ la distribución de probabilidad marginal del proceso $X_t$, es decir, $$h(t,x)=\int_y p(t,x,y)dy$$ ¿Es posible escribir la ecuación diferencial parcial en las variables $x$ y $t$ que $h(t,x)$ debe satisfacer?

Answer 1

No es posible derivar una EDP de ese tipo ya que generalmente no existe, debido a que el proceso $X$ ya no es markoviano.

Ten en cuenta que en tu caso podrías derivar una EDP para el proceso $Y$, el cual es una ecuación diferencial estocástica unidimensional y por lo tanto es markoviano si la solución existe.

Saludos cordiales.