Pullbacks de morfismos monic.

Question

Estoy tratando de probar que los pullbacks de monics son monic.

Vamos

ser un pullback plaza con $m'$ monic.

Deje $h, k$ ser paralelo tal que $m\circ h=m\circ k$. Deje $x_{0}$ ser el dominio de $h, k$.

Supongamos que existe $\phi : x_{0}\to x_{3}$ tal que $g\circ\phi =m\circ h=m\circ k$. Entonces, desde el de arriba es un retroceso de la plaza, existen únicas $u, v: x_{0}\to x_{1}$ tal que $$h=f\circ u, \phi =m'\circ u$$ y $$k=f\circ v, \phi =m'\circ v.$$

Desde $u, v$ son paralelas y $m'$ es monic, $u=v$. Por lo tanto $h=f\circ u=f\circ v=k$. Pero lo que si $\phi$ no existe?

Answer 1

Lo que usted está tratando de demostrar que está equivocado, si leo correctamente. Estás tratando de probar que si $m'$ es monic, a continuación, $m$ es si el diagrama

es un pullback diagrama. Esto es falso. Considerar la categoría de conjuntos, donde $x_3 = x_1 = \emptyset$, $x_2$ es un conjunto arbitrario con al menos dos elementos y $x_4 = 1$. A continuación, el diagrama es claramente un retroceso diagrama sino $m$ no es inyectiva (no un mono).

Por otro lado, si $m$ es monic, a continuación, $m'$ siempre será monic y esta es la declaración que normalmente se entiende por "pullbacks de monics son monics".

Para mostrar que supongamos que usted está dada en paralelo dos flechas $h, k$ tal que $m' \circ k = m' \circ h$. A continuación, considere el diagrama de

Debe ser fácil de demostrar que los desplazamientos y que $f \circ h = f \circ k$ utilizando el hecho de que $m$ es un mono y que $m' \circ h = m' \circ k$. Esto debería permitir a la conclusión de que la $h = k$.