Demostrar que si $\sum_{n=1}^ \infty na_n$ converge, entonces $\sum_{n=1}^ \infty a_n$ converge.

Question

Demostrar que si $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty nan$ converge, entonces $\displaystyle\sum{n=1}^ \infty a_n$ converge.

No, $a_n$ no son necesariamente positivos números.

He estado tratando suma de partes.

Answer 1

Que $Sn = \sum{k=1}^n ka_k$ $S_0 = 0$ y $Tn = \sum{k=1}^n a_k$ entonces tiene $$Tn = \sum{k=1}^n \dfrac{Sk - S{k-1}}{k} = \dfrac{Sn}{n} + \sum{k=1}^{n-1}(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1})S_k = \dfrac{Sn}{n} + \sum{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k(k+1)}S_k$ $

Entonces está claro que $T_n$ converge ya que converge $Sn$ $\sum{n=1}^\infty\dfrac{1}{n(n+1)}$ es finito

Answer 2

¿Prueba de Dirichlet con {$na_n$} y {$1/n$}?

• Desde $\sum_{n=1}^\infty nan$ converge, se limita el % de sumas parciales $\sum{n=1}^\infty na_n$.
• $\lim \frac {1}{n} = 0$.
• La secuencia $\frac {1}{n}$ es monotono, por lo tanto la serie $\sum{n=1}^\infty \left\lvert \frac {1} {n+1} - \frac {1} \right\rvert$ {n} converge y sostener las condiciones para la prueba.
  Así, $\sum{n=1}^\infty (\frac {1}{n})(nan)$ = $\sum{n=1}^\infty a_n$ converge.