¿Implica el lema de Zorn la existencia de una prolongación máxima (no única) de cualquier solución de una oda?

Question

Sea dado un mapa $F:(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to F(x,y)\in\mathbb{R}^n$ .
Denotemos por $\mathcal{P}$ el conjunto cuyos elementos son las soluciones de la oda $y'=F(x,y)$ es decir, los mapas diferenciables $u:J\to\mathbb{R}^n$ , donde $J\ $ es un intervalo abierto en $\mathbb{R}\ $ , s.t. $u'(t)=F(t,u(t))$ para todos $t\in J$ .
Dejemos que $\mathcal{P}$ estar dotado de la ordenación por extensión.

Para demostrar que cualquier elemento de $\mathcal{P}$ es extensible a un elemento maximal (no único), sin hipótesis particulares sobre $F$ Me preguntaba si se puede utilizar el lema de Zorn.

Answer 1

Sí, el Lemma de Zorn debería ser todo lo que necesitas. Tome el conjunto de soluciones parciales que extienden su solución inicial, y ordenarlos por la relación de subconjunto bajo la definición común de una función como el conjunto de pares $\langle x, f(x)\rangle$ . Entonces la unión de todas las funciones de una cadena será otra solución parcial, por lo que se aplica el Lemma de Zorn.