Búsqueda de segmentos en un triángulo rectángulo.

Question

Aquí está la imagen de la pregunta:

• $ABC$ es un triángulo rectángulo.
• $m(CBA)=90^\circ$.
• $m(BAD)=2m(DAC)=2\alpha$.
• $D$ es un punto medio de $[BC]$.
• $E$ es un punto en el $[AD]$.
• $m(BED)=90^\circ$.
• $|DE|=3$.
• ¿Qué es $|AB|=x$?

Intentado un montón de cosas que me da un poco de identidades trigonométricas, pero ninguno de ellos me llevó a la solución que es $x=6$. Y aún si lo hiciera, yo prefiero más los métodos geométricos (todas las soluciones son bienvenidos). Tenga en cuenta que esto podría ser una pregunta fácil, y yo probablemente podría faltar algo obvio.

Answer 1

Este es un enfoque. No digo que es el mejor.

Deje $u = \tan\alpha$. Entonces

$$ \tan2\alpha = \frac{2u}{1-u^2} $$ $$ \tan3\alpha = \frac{u(3-u^2)}{1-3u^2} $$

Desde $\tan3\alpha = 2\tan2\alpha$, tenemos

$$ \frac{4u}{1-u^2} = \frac{u(3-u^2)}{1-3u^2} $$ $$ (1-u^2)(3-u^2) = 4(1-3u^2) $$ $$ 3-4u^2+u^4 = 4-12u^2 $$ $$ 1-u^4 = 8u^2 $$

Ahora vamos a $y = BE$. Por semejanza de triángulos, tenemos

$$ \frac{3}{y} = \frac{\sqrt{9+y^2}}{x} = \tan2\alpha = \frac{2u}{1-u^2} $$

Plaza todos los términos para obtener

$$ \frac{9}{y^2} = \frac{9+y^2}{x^2} = \left(\frac{2u}{1-u^2}\right)^2 = \frac{4u^2}{1-2u^2+u^4} $$

Observar que el par externo de la igualdad anterior nos da

$$ \frac{9+y^2}{y^2} = \frac{9}{y^2}+1 = 1+\frac{4u^2}{1-2u^2+u^4} = \frac{1+2u^2+u^4}{1-2u^2+u^4} = \left(\frac{1+u^2}{1-u^2}\right)^2 $$

Multiplicando ambos extremos por $\frac{x^2}{9+y^2} \cdot \frac{y^2}{9} = \left(\frac{1-u^2}{2u}\right)^2\left(\frac{1-u^2}{2u}\right)^2$ rendimientos

\begin{align} \frac{x^2}{9} & = \left(\frac{1+u^2}{2u}\right)^2 \left(\frac{1-u^2}{2u}\right)^2 \\ & = \left(\frac{1-u^4}{4u^2}\right)^2 \\ & = \left(\frac{8u^2}{4u^2}\right)^2 \qquad \longleftarrow 1-u^4 = 8u^2 \\ & = 2^2 = 4 \end{align}

Por lo $x^2 = 36$$x = 6$.

Limpio pregunta. Uno casi se siente como si la simple y sencilla respuesta debe ser obtenible con un correspondientemente enfoque simple y directo. Hasta ahora, sin embargo, yo no lo he visto. Nadie?

Answer 2

(1) El marrón de la línea punteada es la extensión de $BE$.

(2) La línea de puntos verdes ($AC'$) es la bisectriz de un ángulo de $∠BAE$ tal que $\beta_1 = \beta_2 = \beta$. Otro hecho obvio es $\beta ‘ = 2\beta$.

(3) La línea verde de puntos es la mediatriz de $AB$ corte de $AB$ $AC$ $P$ $Q$ respectivamente.

Por interceptar teorema, $AQ = QC$.

Por el teorema del punto medio, $QD = BP = PA$.

$L$ es el punto en $BC$ tal que $EL \bot BC$. $EL$ se extiende a cortar $AC'$$N$. También debe quedar claro que $\angle 1 = \angle 2 = \beta'$..

La línea de $AEDM$ es el eje de simetría de $\triangle ACC'$. A continuación, $\angle AMC = 90^\circ$. Esto significa que M es también en el circum-círculo (con centro en P) de $\triangle ABC$.

Por lo tanto, $\triangle BED \equiv \triangle CMD \Rightarrow DE = DM$.

$QA = QM \Rightarrow \beta_3 = \beta$. $\beta_4 = \angle 2 - \beta_3 = \beta \Rightarrow QD = DM$.

Resultado de la siguiente manera.