Dado un entero suficientemente grande$N$, ¿es cierto que hay más números primos que cuadrados perfectos en$[1,N]$?

Question

Sabemos que la suma de los recíprocos de todos los números primos diverge (es decir, $\displaystyle\sum_{p\text { is prime}}p^{-1}=\infty$) y la suma de los recíprocos de todos los cuadrados perfectos converge (es decir, $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-2}<\infty$). ¿Este resultado implica que el conjunto de números primos es más "densos" que el conjunto de los cuadrados perfectos; es decir, dada una lo suficientemente grande entero $N$, siempre hay más números primos de los cuadrados perfectos en el intervalo cerrado $[1,N]$? Si es así, ¿cómo es la respuesta a la siguiente generalizada pregunta:

Por un determinado número positivo $\varepsilon$, ¿existe un entero positivo $N_{\varepsilon}$ que si $N>N_{\varepsilon}$, siempre hay más números primos de los números de la forma $k^{1+\varepsilon}$ (donde $k$ es un número positivo) en el intervalo cerrado $[1,N]$?

Mi conjetura es que la respuesta parece ser que sí, ya que $\displaystyle\sum_{p\text { is prime}}p^{-1}=\infty$ mientras $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^{-1-\varepsilon}<\infty$.

Answer 1

Tu adivina bien!

De acuerdo con el teorema del número primo, el número primos menor que$N$ crece aproximadamente a la tasa$N/\ln N$, mientras que el número de números de la forma$k^{1+\epsilon}$ que son menores que$N$ crecer a la tasa$N^{1/(1+\epsilon)}$. Por lo tanto, claramente el número de números primos crece más rápido porque más allá de cierto punto, por cada$\epsilon$,$\ln N$ eventualmente crecerá más lento que$N^{\epsilon/(1+\epsilon)}$.

Answer 2

También puede utilizar postulado de Bertrand, que dice que siempre hay al menos uno de los prime entre el$n$$2n - 2$$n > 3$.

Entre el $1$ $n^2$ hay obviamente $n$ plazas (sin pérdida de generalidad, podemos estipular que $n$ es positivo). Gracias a Bertrand, podemos deducir que hay al menos un primer entre cada múltiplo de $n$ y el siguiente, de$n$$n^2$. Y si $n > 3$, entonces hay al menos dos números primos entre $1$$n$, lo cual nos dice que hay al menos $n + 1$ números primos entre $1$$n^2$.