Demostrar que un grupo finito de números complejos son las raíces de th $n$ de la unidad

Question

Demostrar que si tenemos un grupo finito de números complejos que son las raíces de th $n$ de la unidad para algunos enteros finitos, $n$.

He visto algunos torpes maneras de hacerlo pero existe una solución sencilla muy corto?

Answer 1

Deje $R_{n}$ el conjunto de $n$-th raíces de la unidad. Esto tiene el fin en la mayoría de las $n$, como es el conjunto de las raíces del polinomio $x^{n} - 1$. (Estoy usando la menor cantidad de información posible. Por supuesto, si $\omega_{n} = e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ es una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad, a continuación, $R_{n}$ es cíclico de orden $n$, generado por $\omega_{n}$.)

Si su grupo multiplicativo $G$ de los números complejos tiene orden finito $n$, consecuencia de Lagrange del Teorema dice que para cualquier $a \in G$ tenemos $a^{n} = 1$.

Nos acaban de demostrar que $G \subseteq R_{n}$. Desde $G$ $n$ elementos, y $R_{n}$ () $n$ elementos, son iguales.

Answer 2

Cualquier elemento de este grupo deben tener un valor absoluto 1, o sus poderes tienen diferente valor absoluto, lo que da una infinita grupo.

Ahora vamos a $\phi$ a ser el elemento del grupo con el menor ángulo positivo del eje real (que debe existir, ya que el grupo es finito). Ahora $\phi$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad, ya que el grupo es finito, y pretendemos que todo el grupo es el grupo de $n$th raíces de la unidad. Hacia una contradicción, supongamos que no es $\psi$ en el grupo que no es una potencia de $n$. A continuación, se debe mentir, en el círculo, entre medio de $\phi^n$ $\phi^{n+1}$ algunos $n$. Pero, a continuación, $\phi^{-n}\psi$ tendría un menor ángulo con el eje real de $\phi$, lo cual es imposible, por definición, de $\phi$.