¿Puede alguien por favor verificar esto?
Mostrar que $A \subseteq B \iff A \subseteq B-(B-A)$
$(\Rightarrow)$Que $x \in A$de #%.
Entonces, $x \notin B-A$.
Además, $x \in B$.
Por lo tanto, $x \in B-(B-A)$
Así, $A \subseteq B-(B-A)$.
$(\Leftarrow)$Que $x \in B-(B-A)$de #%.
Entonces, $x \in B$ y $x \notin (B-A)$.
De este último, obtenemos $x \notin B$ o $x \in A$.
Desde $x \in B$, debe ser el caso que $x \in A$.
Así, $A \subseteq B$.
Por lo tanto, $A \subseteq B \iff A \subseteq B-(B-A)$
Su argumento está muy bien. También puede utilizar las leyes de Morgan sin pensar para darse cuenta de que...
$$B-(B- A) = B \cap (B - A)^c$ $ $$= B \cap (B \cap A^c)^c$ $ $$= B \cap (B^c \cup A)$ $ $$= (B \cap B^c)\cup (B \cap A)$ $ $$= B \cap A$ $ Por lo que su conjunto $B - (B - A)$ no es otro que $B \cap A$.
Así que intenta mostrar $A \subset B \iff A \subset A \cap B$. Este podría ser un poco más fácil.
Has hecho muy bien.
Un tema que nota es en la dirección de $\Leftarrow$.
Usted debe comenzar por asumir $A\subseteq\left(B-(B-A)\right)$.
Que $x \in A$ y también sabemos que $x\in A \implies x \in (B-(B-A))$. Así que ahora tenemos $x \in (B-(B-A))$.
La prueba de esa dirección comienza dejando $x \in B - (B-A)$, cuando en realidad, debemos primero dejar $x \in A$. Y por supuesto, de la relación subconjunto, $x \in A \implies x \in (B-(B-A))$, así $x\in B-(B-A)$ a continuación.
Desempacar esto nos da $$ \begin{align} x\in A\implies x\in B-(B-A) & \iff x \in B \land (x \notin (B-A)) \ \ &\iff x \in B\land (x \notin B \lor x \in A)\ \ &\iff (x\in B \land x\notin B) \lor (x\in B \land x\in A) \ \ &\implies x \in B \land x \in A\ \ &\therefore \quad x\in A \implies (x\in A \land x \in B)\ \ &\therefore \quad x\in A\implies x\in B\ \ & \therefore \quad A\subseteq\left(B-(B-A)\right) \implies A\subseteq B\end{Alinee el} $$
$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} $Sólo por comparación, aquí es una alternativa a prueba, en donde utilizamos las leyes de la lógica para simplificar:
$$\calc A \subseteq B - (B - A) \calcop{\equiv}{definición de $\;\subseteq\;$; la definición de $\;-\;$, dos veces} \langle \forall x :: x \in A \;\Rightarrow\; x \in B \de la tierra \lnot (x \in B \de la tierra x \no\a) \rangle \calcop{\equiv}{lógica: el uso de $\;x \in A\;$ en el lado derecho de la $\;\Rightarrow\;$; el uso de $\;x \in B\;$ en el otro lado de la $\;\land\;$} \langle \forall x :: x \in A \;\Rightarrow\; x \in B \de la tierra \lnot (\text{verdadero} \de la tierra \text{false}) \rangle \calcop{\equiv}{lógica: simplificar} \langle \forall x :: x \in A \;\Rightarrow\; x \in B \rangle \calcop{\equiv}{definición de $\;\subseteq\;$} A \subseteq B \endcalc$$
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