Necesito calcular $x^{50}$

Question

$x=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ Necesito calcular $x^{50}$

¿Alguien podría decirme cómo proceder?

Gracias.

Answer 1

La descomposición de Jordan da como resultado $$ \left[ \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right]^{-1} $$ Las matrices de bloques son más fáciles de elevar a una potencia: $$ \begin{align} \left[ \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]^{50} &= \left[ \begin{array}{r} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{50} \left[ \begin{array}{r} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right]^{-1}\\[6pt] &= \left[ \begin{array}{r} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 50 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right]^{-1}\\[6pt] &= \left[ \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 25 & 1 & 0 \\ 25 & 0 & 1 \end{array} \right] \end{align} $$

Answer 2

Este es un enfoque muy elemental basado en encontrar la forma general. Si hacemos $x^2$ encontramos $$x^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix},~~x^4=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}$$ so I guess that we have $$x^{2k}=\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\k&0&1\end{pmatrix}$$ Una aproximación inductiva adimita esta forma general es válida para los enteros $k>0$ .

Answer 3

Empieza por calcular $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Desde $X^2 = I + N$ donde $N^2 = 0$ y lo que pides es $(X^2)^{25} = I^{25} + 25I^{24}N + (\ldots)N^2$ La respuesta puede encontrarse mediante una inspección:

$$ X^{50} = I + 25N $$

Answer 4

El grafo con matriz de adyacencia $$x:=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$$ se dibuja a continuación:

Para $i,j \in \{1,2,3\}$ el elemento de la celda $(i,j)$ en $x^{50}$ es el número de paseos desde el vértice $i$ al vértice $j$ de longitud $50$ en el gráfico anterior.

Por lo tanto, podemos deducir inmediatamente de la estructura del gráfico que $x^{50}$ tiene la forma $$x^{50}:=\begin{pmatrix}1&0&0\\?&1&0\\?&0&1\end{pmatrix}$$ desde $50$ está en paz.

Pensando un poco, podemos suponer que hay $25$ camina desde el vértice $2$ al vértice $1$ de longitud $50$ (podemos aterrizar en el vértice $1$ después del paso $1,3,\ldots,49$ tras lo cual se determina el recorrido). Del mismo modo, hay $25$ camina desde el vértice $3$ al vértice $1$ de longitud $50$ .

Por lo tanto, $$x^{50}:=\begin{pmatrix}1&0&0\\25&1&0\\25&0&1\end{pmatrix}.$$

Answer 5

Evaluar las primeras potencias y adivinar $\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}^{2n}$ = $\begin{pmatrix}1&0&0\\n&1&0\\n&0&1\end{pmatrix}$ , prueba por inducción. Entonces $x^{50}=\begin{pmatrix}1&0&0\\25&1&0\\25&0&1\end{pmatrix}$ .