Prueba $f(x) = 0 $ % todo $x \in [0, \infty)$cuando $|f'(x)| \leq |f(x)|$

Question

los matemáticos! Quiero preguntar a todos los sabios de las personas acerca de un problema que conocí en el concurso para obtener algunas ideas. El problema es el siguiente. Puede que no sea exacta, puesto que el problema depende de mi memoria

Deje $f : [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ $f$ es diferenciable. $|f'(x) |\; \leq\ |f(x)|$ para todos los $x \in [0, \infty)$. $f(0) = 0$. Entonces demostrar que $f(x) = 0$ todos los $x \in [0,\infty)$.

En la prueba, he aplicado el Valor medio Teorema y la de Cauchy-Schwarz desigualdad.

Para cualquier $x$, $|f(x)| = |\{f(x) - f(0)\}(x-0)| = |f'(c_{1})(x)|$ para algunos $c_{1} \in (0,x)$, y, a continuación, $$|f'(c_{1})(x)| \leq |f'(c_{1})||x| \leq |f(c_{1})||x|$$ por Cauchy-Schwarz y dado asunción. Al hacerlo de forma consecutiva, podemos obtener la desigualdad que $$ |f(x)| \leq |f(c_{n})||x||c_{1}|\ldots |c_{n-1}| $$ para cualquier $x \in [0,\infty)$. Como $\{c_{i}\}, \; i\in \mathbb{N}$ es la disminución de la secuencia y $f$ es continua, $|f(c_{n})|$ puede ser arbitraria cerca de $0$ al $c_{n} \rightarrow 0$. Por lo tanto la desigualdad anterior puede estar delimitado por $\epsilon$.

Creo que mi respuesta es correcta, pero un poco incierto. Me podría dar una certeza? Muchas gracias.

Answer 1

La función $|f|$ es continua en $[0,\frac{1}{2}]$, por lo que alcanza un valor máximo en él-lo llaman $M$. Entonces $|f'(x)| \leq |f(x)| \leq M$ $x\in [0,\frac{1}{2}]$. La integración, $|f(x)-f(0)| \leq M|x-0|$, es decir, $|f(x)| \leq Mx$ $x\in [0,\frac{1}{2}]$. Pero entonces $|f(x)| \leq \frac{M}{2}$, en ese intervalo, por lo que es $M\leq \frac{M}{2}$ $M$ logrado en algún lugar. Por lo tanto, $M=0$.

Hemos demostrado $f=0$ $[0,\frac{1}{2}]$. Ahora es fácil ver que $f$ será de cero en cada $[\frac{n}{2},\frac{n+1}{2}]$ por inducción en el número entero $n$. Así $f=0$ por todas partes.

Answer 2

Tu respuesta se ve bien.

Básicamente, la intuición es que $f(x)$ a cualquier cosa por encima de $0$, la derivada debe ser cero (por lo que la función pueda mover hacia arriba o hacia abajo). Pero puesto que la derivada del valor absoluto es menor que el valor absoluto de la función en todo momento y la función comienza a las $0$, la función nunca se da una razón para ir, cuz el derivado está atascado en $0$. Así que la función es constante $0$.

Answer 3

Si $f$ no es idénticamente cero, vamos a decir es positivo para algunos $f$ $x$, $x_0=\inf{x\in [0,\infty)|f(x) >0}$ de definir. Como $$f'(x0)=\lim{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x0)} {h} =\lim{h\to0}\frac{f(x_0+h)} {h} \leq f (x_0) = 0 $ y $f$ son continua, existe un intervalo $(0,s)$, $s>0$, tal para todos los $h<s de="" existen="" otoh="" s.t.="" tenemos="">0$ % todo $h\in(0,t)$ha $$f(x_0+h)>0.$ $ elegir algunos $0<h contradicci="" lograr="" para="" una="">En esta prueba no es necesario asumir la integrabilidad de $f'$.

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