¿Es $f \equiv 1$ la única solución normalizada de $f(x) = \frac 1x \int_0^x f(t) dt$?

Question

Que $f \in L^1(0,1)$ ser a.e. no negativa y tal que $$ \int_0^1 f (x) dx = 1. $$ Asumir ese $$ f (x) = \frac 1 x \int_0^x f (t), \quad x \in (0,1) $ a.e.

¿Es $f \equiv 1$ una función única (hasta una clase de equivalencia) satisfactoria sobre supuestos? ¿O hay algún otro?

Answer 1

Desde $f \in L^1(0, 1)$ y \begin{align} F(x) = \int^x_0 f(t)\ dt \end{align} entonces $F$ es absolutamente continua y $F$ es diferenciable una.e. donde $F'=f$. Siguiente, observar \begin{align} f'(x) = \frac{f(x)x- \int^x_0 f(t)\ dt}{x^2} = \frac{f(x)x-xf(x)}{x^2}=0 \ \ \text{ a.e.} \end{align} La combinación de todo, tenemos que $f\equiv$ const desde $f$es continua. Por último,$f(1) = \int^1_0 f(t)\ dt =1$.

Edit: cabe señalar que $f$ es localmente absolutamente continua en $(0, 1)$ desde $F$ es absolutamente continua y $\frac{1}{x}$ también es absolutamente continua. Por otra parte, ya sabemos $f'\equiv 0$.e. entonces por el teorema Fundamental del cálculo, tenemos que \begin{align} f(1)-f(x) = \int^1_x f'(t)\ dt =0. \end{align}

Answer 2

Sugerencia:

$x\ne0$, $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt,$ $ Para que por la diferenciación

$$xf'(x)+f(x)=f(x)$$ or $$f'(x)=0.$$

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Si asumimos que $f$ por trozos constante, en un intervalo constante $[xk,x{k+1})$,

$$\frac1x\int_0^xf(x)dx=\frac1x\int_0^{xk}f(x)dx+\frac1x\int{xk}^xf(x)dx=\frac{\sum{j=0}^{k-1}fj(x{j+1}-x_j)+f_k(x-x_k)}x=f_k.$$

Como puede comprobar por inducción, la única solución es $f_k=1$.