Operador compacto y autoadjunto

Question

Es cierto que si $T:H \to H$ es un operador compacto ( $H$ espacio de Hilbert) entonces $T^\ast T$ es algo compacto y, de hecho, autoadjunto.

A la inversa, ¿es cierto que todo operador compacto y autoadjunto $S$ puede descomponerse como $S=A^\ast A$ con $A$ ¿Compacto?

Gracias.

Answer 1

También necesita $S$ sea semidefinida positiva, es decir $\langle x, S x \rangle \ge 0$ para todos $x \in H$ . Entonces usted puede tomar $A = \sqrt{S}$ utilizando el cálculo funcional continuo. Obsérvese que cualquier función continua $f$ en $\sigma(S)$ con $f(0)=0$ es el límite uniforme de $\sigma(S)$ de una secuencia de polinomios $p_n$ con $p_n(0)=0$ y así $f(S)$ es la norma límite de $p_n(S)$ . Si $S$ es compacta, entonces también lo son $p_n(S)$ y por lo tanto $f(S)$ .

Answer 2

No, un operador de la forma $A^*A$ es autoadjunto y tiene espectro no negativo. Por tanto, cualquier operador autoadjunto compacto con un valor propio negativo no puede escribirse de esa forma.

Para el ejemplo más sencillo, fije un vector $x\in H$ y que $S$ sea el operador $$ Sy=-\langle y,x\rangle x. $$