¿Por qué el campo eléctrico entre dos placas paralelas es uniforme?

Question

Según fuentes en línea (por ejemplo, HyperPhysics) la intensidad del campo eléctrico alrededor de una carga puntual es $$E=k\frac{Q}{r^2}$$ Esto debe significar que cuanto más se aleja, el campo eléctrico debe disminuir con el cuadrado del radio ¿no?

Pero cuando estas cargas se colocan en placas paralelas, ¿de alguna manera éstas producirán un campo eléctrico uniforme? Cómo entiendo actualmente la física se puede resumir en el gráfico de abajo de la fuerza del campo eléctrico frente a la distancia (Las líneas roja y negra son las fuerzas del campo eléctrico de cada placa y la azul es la resultante).

Parece bastante claro que esto no sería un campo eléctrico uniforme. ¿Qué ocurre para que la intensidad del campo eléctrico se convierta en un campo uniforme? Inicialmente pensé en la integración, pero ¿no seguiría dando una relación inversa?

En respuesta al duplicado propuesto, mi pregunta se refiere a 2 placas mientras que la otra es sobre una placa (sin embargo, no puedo descifrar realmente lo que se pide en la otra pregunta)

Answer 1

La respuesta intuitiva es la siguiente: Cuando se tiene una sola placa infinita el caso es el mismo. Si la placa es infinita en longitud, entonces "no hay escala espacial" en este problema (para un observador la placa se ve igual desde cualquier altura, la densidad de carga no cambia), no hay centro y no hay nada (ninguna característica física) que pueda decirte que estás más cerca o más lejos de la placa, cualquier altura sería la misma. Por supuesto que puedes medir la distancia de la placa con un metro, pero la cuestión es que no hay ninguna característica en la placa que haga que una distancia sea "diferente" que otra. Ahora bien, si tienes dos placas de cargas opuestas es lo mismo, el campo será constante dentro de las placas y nulo fuera (ya que se anula). Esto deja de ser cierto si las placas son finitas, porque ahora tienes una escala: el tamaño de la placa.

Answer 2

Hay que recordar que el campo eléctrico es un vector y no un escalar.

Consideremos una carga eléctrica uniforme en un plano infinito, y una carga puntual a la altura $h$ de él. Llamemos al punto directamente debajo de la carga puntual $P$ .

La carga puntual es atraída por cada punto del plano, y la fuerza de atracción hacia un punto del plano a distancia $r$ de $P$ es proporcional a $$ \frac{1}{r^2+h^2} $$ .

Ahora, la fracción de esta fuerza en la dirección del plano es proporcional a

$$ \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} $$

fracción de la fuerza total.

Así, la fuerza sobre la carga puntual en la dirección del plano es $$ \int_0^\infty \frac{h}{(r^2+h^2)^{3/2}}\, 2 \pi r \, dr $$

Esta integral no depende de $h$ . Para ver esto, podemos hacer la sustitución $r = h s$ . Obtenemos $$ \int_0^\infty \frac{h}{(h^2 s^2+h^2)^{3/2}} \,2 \pi h^2 s \, ds = \int_0^\infty \frac{1}{(s^2+1)^{3/2}} \,2 \pi s \, ds \, , $$ que es $2 \pi$ .

Así que la fuerza de atracción sobre la carga puntual no depende de su distancia al plano. Por lo tanto, el campo eléctrico debe ser constante.

Answer 3

Si coloca un uniforme densidad de carga, por lo que no es una carga puntual altamente no uniforme, en cada una de las placas, entonces lo suficientemente lejos de los bordes de las placas el campo E será constante. Tenga en cuenta que las placas deben ser mucho más grandes que su separación.

Answer 4

¡Tienes razón!

Parece bastante claro que esto no sería un campo eléctrico uniforme.

Este campo uniforme sólo es válido bajo ciertas aproximaciones.

En primer lugar, la separación entre placas debe ser muy pequeña en comparación con el tamaño de las mismas. Esto significa que cuando expandimos la solución exacta en términos de potencias $\frac x L$ donde $x$ es la distancia de las placas y $L$ es una medida del tamaño de las placas, podemos despreciar todo lo que no sea el término constante.

Típicamente también asumimos una placa infinitamente grande, para que no haya frontera efectos.

En una situación real, es evidente que los bordes ("frontera") no tendrán el mismo campo que el centro de la placa. Por tanto, el campo no puede ser uniforme para placas finitas. Por lo tanto, nos aproximamos con placas infinitas, lo que funciona bien para el campo en torno al centro, y en el caso de pequeñas separaciones esto funciona bastante bien para la mayor parte de la placa.

Cuando se utilizan separaciones comparables en magnitud al tamaño de las placas, no se obtiene un campo uniforme. Es fácil ver que en ese caso Cuanto más cerca esté de una u otra placa, más influencia tendrá en el campo que le rodea. De hecho, cuando la separación se hace mucho mayor que el tamaño de las placas, se pueden aproximar las placas con puntos y se termina con una aproximación del campo entre dos cargas puntuales, que definitivamente no es uniforme.