La definición de un marco de referencia inercial en la relatividad de Einstein

Question

Estoy leyendo el libro de Sean Carroll sobre la relatividad general, y tengo una pregunta sobre la definición de un marco de referencia inercial. En el primer capítulo dedicado a la relatividad especial, el autor describe una forma de construir un marco de referencia de la siguiente manera:

"Las coordenadas espaciales (x, y, z) comprenden un sistema cartesiano estándar, construido, por ejemplo, soldando varillas rígidas que se encuentran en ángulos rectos. Las varillas deben moverse libremente, sin acelerar. La coordenada temporal está definida por un conjunto de relojes, que no se mueven respecto a las coordenadas espaciales. Los relojes están sincronizados en el siguiente sentido. Imaginemos que enviamos un haz de luz desde el punto 1 en el espacio hasta el punto 2, en línea recta a una velocidad constante c, y luego inmediatamente de vuelta a 1 (a velocidad -c). Entonces el tiempo en el reloj de coordenadas cuando el haz de luz llega al punto 2, que etiquetamos como $t_2$ debe estar a mitad de camino entre la hora del reloj de coordenadas en que el rayo dejó el punto 1 ( $t_1$ ) y la hora en el mismo reloj cuando regresó ( $t^{'}_{1}$ ): $$t_2=\frac{1}{2}(t^{'}_{1}+t_1)$$ El sistema de coordenadas así construido es un marco de inercia ".

En primer lugar, no está del todo claro qué significa exactamente "las varillas deben moverse libremente, sin acelerar". ¿Sin acelerar en comparación con qué?

En segundo lugar, y ésta es mi principal pregunta, ¿la capacidad de sincronizar relojes es exclusiva de los marcos inerciales? Si el marco no es inercial, en el sentido de que la segunda ley de Newton $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ no se cumple, ¿es aún posible que para un conjunto de relojes que no se mueven respecto a las coordenadas espaciales de este marco, que la ecuación $t_2=\frac{1}{2}(t^{'}_{1}+t_1)$ ¿se mantendrá siempre para 2 puntos cualesquiera del espacio y un rayo de luz que viaje entre ellos? ¿Puede utilizarse la capacidad de sincronizar relojes como criterio para los marcos inerciales?

Answer 1

Los marcos de referencia inerciales son fractales. Puedes imaginar cada marco de referencia como una caja dentro de otra caja dentro de otra caja, etc.

Puedes acercarte o alejarte. El observador en cada "caja" inercial ve el comportamiento de la materia según las leyes de la mecánica "clásica"== Es decir, los relojes funcionan normalmente, la masa es constante al igual que la longitud.

Ejemplo un coche que viaja a velocidad constante sobre la superficie de la tierra (considerada en reposo para el coche) están ambos en los mismos marcos de referencia inerciales y se ajustan a las leyes mecánicas clásicas uno respecto del otro.

Sólo cuando se empieza a considerar el observador en el coche al observador en la Tierra lo que se puede llamar una medición trans-inercial se perciben los llamados efectos relativistas.

Answer 2

En primer lugar, no está del todo claro qué significa exactamente "las varillas deben estar moverse libremente, sin acelerar" significa exactamente. Sin acelerar en comparación con ¿qué?

Buena pregunta. Me gustaría añadir: ¿Movimiento libre con respecto a qué?
Bueno, es algo convencional. La mecánica newtoniana definió un marco de referencia inercial absoluto unido al heliocentro del Sol para ese fin. Einstein no definió tales cosas, sino que tomó prestado uno de los marcos de referencia inerciales definidos convencionalmente para definir otros nuevos, a menos que se disponga de otros nuevos para definirlos.
Significa, las varillas deben moverse libremente, sin acelerar con respecto a otro marco de referencia inercial . Puede no parecer plausible, pero un marco de referencia inercial no puede definirse solo.

Si el marco no es inercial, en el sentido de que la segunda ley de Newton $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ no se cumple, ¿es posible que para un conjunto de relojes que no se mueven con respecto a las coordenadas espaciales coordenadas de este marco, 2 puntos cualesquiera en el espacio y un rayo de luz que viaja entre ellos, que la ecuación $t_2=\frac{1}{2}(t^{'}_{1}+t_1)$ ¿se mantendrá siempre?

Aquí estamos definiendo cosas, no validando/verificando cosas. Los relojes pueden sincronizarse con la misma regla en el marco de referencia no inercial siempre que la luz llegue a esos puntos (en algunos de los casos no inerciales, la luz puede no llegar a otro punto debido al cambio de la geometría local del espaciotiempo).

¿La capacidad de sincronizar los relojes en todo el espacio es exclusiva de los los marcos inerciales? ¿Puede utilizarse la capacidad de sincronizar relojes como criterio para los marcos inerciales?

No. Muchos de los casos no inerciales pueden sincronizar los relojes con la misma regla. Como no hay un reloj absoluto/universal, no se pueden comentar esas sincronizaciones (simplemente la física relativista no es tan poderosa para ese comentario).

Answer 3

A lo que Sean Carroll se refiere es a la aceleración indicada por un acelerómetro que está justo al lado de las barras, co-moviéndose con ellas.

La lectura de un acelerómetro es un medición local . Eso es importante en esta estipulación sobre las barras rígidas. La exigencia no es que no se acelere con respecto a algún otro objeto que pueda estar a cierta distancia, se trata de que los acelerómetros de correa den una lectura de cero .

¿Puede utilizarse la capacidad de sincronizar relojes como criterio para los marcos inerciales?

Para que el procedimiento de sincronización funcione (para no encontrar incoherencias), la velocidad de la luz debe ser la misma en todas las direcciones. Como sabemos, ese es el caso sólo para un observador en movimiento inercial.

Abordando su pregunta desde una perspectiva más general:

Los experimentos de pensamiento que implican la sincronización de los relojes son casi siempre escenarios en los que los relojes están a gran distancia. La luz es tan rápida que se necesita una buena distancia. Por otro lado, en el contexto de la RG, cuando tomas un marco de referencia inercial como punto de partida conceptual, el escenario es que estás pensando realmente localmente .

El marco que se mueve junto con la Estación Espacial Internacional mientras orbita la Tierra es un marco de referencia inercial local. Cuando te alejas, el siguiente nivel es el marco de inercia que se mueve conjuntamente con el centro de masa de la Tierra. Y así se va alejando hasta alcanzar perspectivas cada vez mayores.

En el concepto de marco de referencia inercial de la RG los marcos inerciales de cada uno de esos niveles de perspectiva están en movimiento uno respecto del otro. Por eso, como punto de partida se parte de un concepto de local marco de referencia inercial.

Tu pregunta no es errónea, pero no se me ocurre ningún experimento mental útil que presente la combinación por la que preguntas: el procedimiento de sincronización y la distinción entre marco inercial y no inercial.

Answer 4

La prueba estándar para saber si estás en un marco inercial es rodearte de algunas partículas que no interactúan, por ejemplo, en una esfera. Si la forma formada por las partículas no cambia con el tiempo, entonces estás en un marco inercial (al menos localmente). El espacio curvo puede ser detectado por el volumen y/o la forma hecha por las partículas que cambian.

Teniendo en cuenta esto, en el ejemplo que das las varillas son sin acelerar si permanecen en la misma posición uno respecto del otro, es decir, la no aceleración es respecto del otro y de todo lo demás que comparte su marco inercial.

En cuanto a tu pregunta sobre los relojes, no es posible sincronizar los relojes de diferentes marcos porque funcionan a ritmos diferentes. Bueno, supongo que es posible sincronizarlos una vez, pero no permanecerán sincronizados. En la RG los relojes ni siquiera necesitan estar en movimiento entre sí. Si me sitúo por encima de un agujero negro y bajo un reloj con una cuerda hasta cerca del horizonte de sucesos, ese reloj y el mío funcionarán a velocidades diferentes aunque no se muevan el uno respecto al otro.

En la RG no utilizamos mucho la idea de los marcos inerciales. En su lugar, hablamos de que el espaciotiempo es localmente plano (Minkowski). En este sentido, es posible estar en un marco inercial incluso cuando se acelera. El interior de la ISS se encuentra aproximadamente en un marco inercial aunque esté acelerando hacia la Tierra a buen ritmo.

Answer 5

La aceleración es algo absoluto. Sin aceleración significa que, por ejemplo, un péndulo unido a estas varillas no se mueve en ningún momento. La aceleración de las varillas haría que se desviara en función de la aceleración, como un pasajero en un coche. La sincronización del reloj se puede hacer entonces de una manera "simple" descrita por Sean.