¿Existen pautas generales para demostrar los límites de las funciones multivariables?

Question

Hoy estaba tratando de demostrar que

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)}\dfrac {x^2y^2}{x^2+y^2} = 0 $$

Tuve mucha suerte porque la desigualdad AM-GM se aplica directamente aquí para darnos $$\dfrac {x^2y^2}{x^2+y^2} \le \dfrac {x^4 + y^4}{x^2+y^2} \le \dfrac {(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2} = x^2+y^2$$

Y así podemos elegir $\delta = \sqrt \epsilon$ .

Sin embargo, esto fue realmente afortunado al resultar tan limpio. Mi pregunta es, cuando no es tan limpio, ¿hay alguna pauta general?

Por ejemplo:

• ¿Miras el $|f(x, y)- L| < \epsilon$ y tratar de manipularlo? ¿Cuál es exactamente el objetivo cuando se intenta manipular esto?
• ¿Se ve el $\sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta$ término y tratar de manipularlo? ¿Cuál es exactamente el objetivo cuando se trata de manipularlo?

Etc.

Gracias.

Answer 1

La respuesta en la mayor generalidad es no. En menor generalidad, podemos comprobar ciertas propiedades (diferenciabilidad, por ejemplo) y podemos realizar simplificaciones que hacen las cosas más claras/convenientes. Esta segunda parte proviene principalmente de la experiencia y la intuición. Pero, en la inmensa mayoría de los casos no hay nada bueno que hacer. Por ejemplo

$$\sqrt{\frac{(e^{x^2}-2x^3)^2+\cos(x)}{1+2x(\sin(x)-\tan(x^2)}}$$

no va a tener ninguna simplificación algebraica agradable que va a ayudar.

Ahora, en cuanto a $\varepsilon-\delta$ el lenguaje va. $|f(x,y)-L|<\varepsilon$ es lo que miraríamos si tuviéramos una conjetura sólida sobre el límite. En su ejemplo anterior está bastante claro que su $0$ y así realizaríamos manipulaciones sobre la desigualdad anterior para averiguar $\delta$ en términos de nuestro $\varepsilon$ . Realmente no miramos $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$ hasta que hayamos averiguado el límite y trabajado con $|f(x,y)-L|<\varepsilon$ para averiguar nuestro $\delta$ .

Sin embargo, no nos importan las cosas en general. Sólo nos importan ciertas clases de funciones (funciones lineales, por ejemplo) que tienen propiedades más agradables que podemos explotar. En general, tu intuición es tu mejor herramienta. En tu ejemplo, podemos ver que la multiplicación en el numerador va a llevar al numerador a $0$ mucho más rápido que la suma en el denominador.

Answer 2

En el caso de una fracción con denominador obviamente positivo como $x^2 + y^2$ o $x^4 - x^2 y^2 + y^4,$ o $x^2 + y^4,$ Me he aficionado a encontrar simplemente el máximo (valor absoluto) del numerador con el denominador constante como restricción utilizando los multiplicadores de Lagrange. Esto no suele ser rápido, pero permite obtener un nivel de seguridad en el resultado.