Encontrar el polinomio mínimo de $t^2+t$ $\mathbb{Q}$ donde t satisface $x^3-3x^2-3$

Question

Encontrar el polinomio mínimo de a$t^2+t$ sobre $\mathbb{Q}$ donde t satisface $t^3-3t^2-3=0$.

Bien, entonces yo estaba trabajando en esto por un rato el día de hoy con mi amigo y no pudimos averiguar, jaja. Tenemos creativo con esto y probado un montón de cosas, pero no podía entenderlo, así que estoy segura de que alguien de aquí lo hace lucir muy fácil como haces siempre.

Una cosa que hice fue tratar de conectar $t^2+t$ a $x^3-3t^2-3$ y tratando de buscar pistas o incluso cero. Otra ruta que tomé fue dividiendo $\frac{x^3-3x^2-3}{x-t}$ y que sí, que por supuesto se divide sin resto, pero sí ... no sé jaja necesito una nueva perspectiva

Answer 1

Una más conceptual del método:

Si $t$ es una raíz de $t^3-3t^2-3=0$, a continuación, $t$ es un autovalor de la matriz $$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 3\end{pmatrix}$$ por lo tanto $t^2+2t$ es un autovalor de la matriz $$A^2+2A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 15 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 15 \\ \end{array} \right)$$ computing characteristic polynomial shows $t^2+2t$ satisfies $x^3-15 x^x 2-36-69 = 0$. It is indeed the minimal polynomial because $[\mathbb{Q}(t^2+2t):\mathbb{Q}] = 3$.

Sin embargo, en un punto de vista computacional, este método es bastante caro cuando la dimensión de la matriz es grande.

Answer 2

Que <span class="math-container">$\alpha=t^2+t$</span>. Entonces <span class="math-container"> $$\begin{align}\alpha^2&=t^4+2t^3+t\&=(t+2)t^3+t\&=(t+2)(3t^2+3)+t\&=3t^3+6t^2+4t\&=3\cdot(3t^2+3)+6t^2+4t\&=15t^2+4t+9\end{align}$ $</span> y <span class="math-container">$$ \begin{align}\alpha\cdot(\alpha^2-15\alpha)&=(t^2+t)\cdot(-11t+9)\ &=-11t^3-2t^2+9t\&=-11(3t^2+3)-2t^2+9t\&=-35t^2+9t-33\end {Alinee el} $</span> para que <span class="math-container">$$\alpha^3= \alpha\cdot(\alpha^2-15\alpha)+15\alpha^2=190t^2+69t+102.$ $</span> ahora encontrar una dependencia lineal entre <span class="math-container">$$\begin{matrix}\alpha^3=&190t^2&+69t&+102\ \alpha^2=&15t^2&+4t&+9\ \alpha^1=&t^2&+t\ \alpha^0=&&&1\end{matriz}$$</span>