Se supone que debo averiguar si esto es falso o verdadero.
Si $I$ es el $n\times n$ matriz de identidad, y $J$ es un $n\times n$ matriz que consiste enteramente en unos, entonces la matriz $A = I - \frac{J}{n+1}$ es idempotente (es decir $A^{2} = A$ )
Entiendo obviamente lo que $I$ y $J$ son, mi problema es con el $A = I - \frac{J}{n+1}$
He buscado en mi libro de texto y no he encontrado ninguna referencia al respecto.
¿Qué significa?
La expresión $A = I - \frac{J}{n+1}$ es la suma de matrices, donde $\frac{J}{n+1}$ representa la multiplicación escalar de la matriz $J$ por $\frac{1}{n+1}$ . Dado que la matriz $J$ consiste completamente en $1$ s, cada entrada de la matriz escalada $\frac{J}{n+1}$ es $\frac{1}{n+1}$ . Aquí está la adición de la matriz:
$$ I - \frac{J}{n+1} = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \end{array}\right]$$
$$ \implies A = \left[\begin{array}{cccc} \frac{n}{n+1} & \frac{-1}{n+1} & \cdots & \frac{-1}{n+1} \\ \frac{-1}{n+1} & \frac{n}{n+1} & \cdots & \frac{-1}{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{-1}{n+1} & \frac{-1}{n+1} & \cdots & \frac{n}{n+1} \\ \end{array}\right] $$
Una matriz interesante. Se podría describir con $A_{ij}=\frac{n}{n+1}$ si $i=j$ y $A_{ij}=\frac{-1}{n+1}$ si $i\neq j$ .
No es difícil obtener manualmente $J^2=nJ$ . Ahora sólo es cuestión de un poco de álgebra matricial:
$$A^2=(I-\frac{1}{n+1}J)^2=I^2-\frac{1}{n+1}IJ-\frac{1}{n+1}JI+\frac{1}{(n+1)^2}J^2 = \\ = I - \frac{2}{n+1}J + \frac{n}{(n+1)^2}J = I + \frac{n-2(n+1)}{(n+1)^2}J = \\ = I + \frac{-n-2}{(n+1)^2}J = I - \frac{1}{n+1}J - \frac{1}{(n+1)^2}J = A - \frac{1}{(n+1)^2}J \neq A$$
Como puedes ver, $A$ no es idempotente.
Por favor, vuelve a mirar tu aritmética entre el último término de la línea 2 y el primer término de la línea 3. Además, la pregunta de OP era sobre el significado de la expresión de la matriz. De hecho, OP no pidió la solución de su problema de tarea.
Uno de los vectores propios de la matriz simétrica $A$ es el vector todo-uno, con valor propio $1 - n/(n+1)$ . No puede ser idempotente.
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