Números complejos, ¿cómo puedo mostrar que$|z_1|=|z_2|=|z_3|$?

Question

Muestre que si $z_1,z_2,z_3$ son números complejos, $z_1+z_2+z_3=0$ y $z_1^2+z_2^2+z_3^2=0$ entonces: $|z_1|=|z_2|=|z_3|$

Answer 1

$$z_3=-z_1-z_2\\ z_3^2=z_1^2+2z_1z_2+z_2^2$$ Desde $z_3^2=-z_1^2-z_2^2$ consigue $$z_1^2+z_1z_2+z_2^2=0$$ Multiplicando por $z_1-z_2$ consigue $$z_1^3=z_2^3$$

La aplicación de los valores absolutos de obtener $$|z_1|^3=|z_2|^3$$ y por lo tanto $$|z_1|=|z_2|$$

La igualdad de $|z_1|=|z_3|$ puede obtenerse de la misma manera.

Answer 2

$$z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = \big((z_1 + z_2 + z_3)^2 - (z_1^2 + z_2^2 + z_3^2)\big)/2 = 0.$ $ Así que $(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)=z^3-z_1 z_2 z_3$ para cualquier $z$ , y $z_1^3=z_2^3=z_3^3(=z_1 z_2 z_3)$ .

Answer 3

Deje $f=(t-z_1)(t-z_2)(t-z_3)$.

A continuación, $f$ es un polinomio cúbico en $t$, con raíces $z_1,z_2,z_3$.

En forma expandida, $f$ puede ser expresado como $$f=t^3-at^2+bt-c$$ donde \begin{align*} a&=z_1+z_2+z_3\\[4pt] b&=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1\\[4pt] c&=z_1z_2z_3\\[4pt] \end{align*} De $z_1+z_2+z_3=0$, obtenemos $a=0$, y como también tenemos $z_1^2+z_2^2+z_3^2=0$, la identidad $$(z_1+z_2+z_3)^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2+2(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)$$ rendimientos $b=0$.

Por lo tanto, $f=t^3-c$, por lo tanto, desde $$f(z_1)=f(z_2)=f(z_3)=0$$ tenemos $$z_1^3=z_2^3=z_3^3=c$$ por lo $|z_1|^3=|z_2|^3=|z_3|^3$, que los rendimientos de $|z_1|=|z_2|=|z_3|$.