Construcción de un conjunto abierto, denso y conectado en el plano

Question

Estoy perplejo con el siguiente problema.

Deje $\varepsilon>0$ ser dado. Demostrar que existe un abierto denso, y el conjunto conectado a$G\subset \mathbb{R}^{2}$ tal que $m_{2}(G)<\varepsilon$, donde $m_{2}$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^{2}$.

Mis pensamientos: estoy pensando que tengo que utilizar algún tipo de construcción con un Cantor-al igual que el conjunto en $\mathbb{R}^{2}$ y, a continuación, tomar un conjunto de complemento. Sin embargo, no he trabajado con conjuntos de Cantor fuera de $\mathbb{R}$, así que no estoy seguro de lo que constituye un "Cantor-al igual que el conjunto" en las dimensiones superiores (si este está aún definido o una válida de la construcción) Es esto aproximadamente lo que quieras hacer? De lo contrario, no estoy seguro de por dónde debo empezar.

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

He aquí un rápido resumen de "fuerza bruta" de la construcción:

• Una manera de hacer un denso conjunto abierto es la enumeración de los puntos tanto de cuyas coordenadas son racionales (de manera más general, en $\mathbb{R}^n$ queremos enumerar $\mathbb{Q}^n$) como $(q_i)_{i\in\mathbb{N}}$, y, a continuación, poner una bola abierta $B_i$ alrededor de cada una de las $q_i$. Desde los racionales son densos, el conjunto abierto $B=\bigcup B_i$ va a ser densa. Ahora, ¿ve usted una manera de recoger las bolas de modo que $B$ tiene "pequeñas" medir?

• Ahora el resultado de la anterior no será conectado (ejercicio). Así que tenemos que hacer es conectado. La idea ahora es poner "puentes" entre la apertura bolas ya hemos dibujado dado por $B_i, B_j$, fijar puntos de $x_i, x_j$ en cada bola (es decir, sus centros) y considerar la posibilidad de algún conjunto abierto $L_{i,j}$ de todo el segmento de línea que conecta $x_i$ e $x_j$. ¿Ves cómo el diseño de estos $L_{i,j}$s de modo que la suma de sus medidas es "pequeño"?

Ejercicio: La demanda es obviamente falso para $n=1$, ya que la única conectada, abrir los subconjuntos de a$\mathbb{R}$ están abiertos intervalos, y la única densa intervalo abierto es $(-\infty,\infty)$. Entonces, ¿dónde el argumento anterior ir mal si tratamos de ejecutar en $\mathbb{R}$?

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Un comentario tangencial (oculto, ya que contiene spoilers):

La construcción anterior puede conducir en última instancia en la dirección de los "mayores" métrica de los espacios; es decir, la métrica espacios cuya "puntos" se suele considerar como conjuntos de puntos. He aquí cómo. En mi opinión, el enfoque más sencillo para el segundo de puntos de arriba es mirar el conjunto de puntos cuya distancia a la recta dada segmento es $<\epsilon$ adecuado $\epsilon$. Este tipo de "bola alrededor de un conjunto" (como opuesto a punto) es una noción muy útil en espacios métricos. De hecho, podemos dejar puntos por detrás completo (bueno, en realidad no) y definir una "distancia" función arbitraria de conjuntos en un espacio métrico, es decir, el infimum de las distancias entre un punto en un conjunto y un punto en el otro conjunto. Esto no es una métrica en general, pero es cuando nos restringimos a los juegos correctos (ejercicio: convencerse de que debemos restringir la atención a los conjuntos compactos) y se muestra en un número de situaciones. (Va más lejos, resulta que esta no es la única medida razonable ("bonito") de subconjuntos de un espacio métrico, pero eso no relacionadas con el problema actual en todo; yo creo que es simplemente neato.)

(¿Qué, tangencial de los comentarios no debe ser más largo que el real pertinentes de la respuesta? Tonterías digo!)

Answer 2

Aquí hay un esquema. La construcción se basa en el hecho de que puedes dibujar un sombrero infinito que solo contiene un área finita debajo de él. Para ser precisos, $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} < \infty$ .

• La densidad se maneja colocando versiones verticales de este conjunto en puntos cuidadosamente seleccionados.

• El área finita se maneja mediante escalado.

• La conectividad se maneja poniendo una versión horizontal para conectar todas las verticales.