Me despiertan en una clase al azar y escuchar 6 palabras relacionadas con la biología. ¿Cómo ciertos debería que me ' m en clase de Biología?

Question

Supongamos que yo voy a dormir en alguna clase. Me despierto y oigo 6 tema específico de palabras que parecen estar relacionados con la biología. Me piden que adivinar si estoy en la clase de Biología? El grado de confianza debería ser? Creo que esto puede ser presentado con la siguiente red Bayesiana, con uno de los padres del nodo y 6 nodos hijos.

Supongamos que $$P(word_1|biology)=0.6$$$$P(word_2|biology)=0.6$$$$P(word_3|biology)=0.7$$$$P(word_4|biology)=0.7$$$$P(word_5|biology)=0.8$$$$P(word_6|biology)=0.8$$

Supongamos que creo que hay alguna posibilidad de que yo pudiera escuchar estas palabras en algunas de las otras clases, tales como la química. Por lo tanto, vamos a $P(word_i|\neg biology)$ ser $P(word_i|biology)-0.1$:

$$P(word_1|\neg biology)=0.5$$$$P(word_2|\neg biology)=0.5$$$$P(word_3|\neg biology)=0.6$$$$P(word_4|biology)=0.6$$$$P(word_5|\neg biology)=0.7$$$$P(word_6|\neg biology)=0.7$$

A mi antes de la credibilidad de estar en la clase de biología es $0.1$. ¿Cómo puedo actualizar a formar una posterior después de escuchar estas 6 palabras?

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Al oír la palabra 1, usando la regla de Bayes puedo actualizar de la siguiente manera:

$$P(class=bio|word_1)=\frac{p(word_1|bio)*p(bio)}{p(word_1|bio)*p(bio)+p(word_1|\neg bio)*p(\neg bio)}=\frac{0.6*0.1}{(0.1*0.6)+(0.5*0.9)} \approx 0.1176$$

Puedo mantener la actualización como esta de forma secuencial para cada palabra, conectar el anterior posterior como la siguiente antes? Tales como,

$$P(class=bio|word_2)=\frac{p(word_2|bio)*p(bio)}{p(word_2|bio)*p(bio)+p(word_2|\neg bio)*p(\neg bio)}=\frac{0.6*0.1176}{(0.1176*0.6)+(0.5*0.8824)} \approx 0.1378$$

Y así sucesivamente... ¿Es eso correcto?

Answer 1

Sí, tu razonamiento es correcto... la probabilidad posterior para cada actualización se convierte en la probabilidad anterior por el siguiente. (Esta es una de las cosas buenas acerca de la aproximación Bayesiana.) Tenga en cuenta que cada actualización puede ser escrito como $$ P' = \frac{p_w P}{p_w P + q_w (1-P)}=\frac{p_w P}{q_w + (p_w - q_w)P}=\frac{P}{\alpha_w +(1-\alpha_w)P}, $$ donde $\alpha_w=P(w|\neg bio) \div P(w|bio)$ es $5/6$ o $6/7$ o $7/8$ por tus palabras. Es fácil comprobar que el resultado después de los seis palabras, viene a $P\approx 0.221453$, y que esto es independiente del orden en que se hacen las actualizaciones.

A la luz de la otra respuesta, vale la pena señalar que este es el mismo como el resultado de una sola actualización con $\alpha=\prod_w \alpha_w=25/64$... es decir, es el mismo que el tratamiento de las palabras como independiente. Esto es exactamente lo que el diagrama dice: los seis palabras son independientes, dada la clase. La ventaja de la primera aproximación, sin embargo, es que usted puede actualizar su credibilidad en una línea de moda como usted oye las palabras... que permite, digamos, saca tu libro de texto tan pronto como usted está lo suficientemente seguro de que usted está en el derecho de la clase.

Answer 2

En primer lugar si los eventos son dependientes (por ejemplo, word1 y palabra2 siempre aparecen juntos, en cualquier clase), entonces no es mucho lo que podemos decir sin especificar exactamente la dependencia.

Así que supongamos que son independientes. Me gustaría modelo esta como $W =$ el evento de audiencia de todos los 6 palabras. Por lo $P(W|bio) = 0.6^2 0.7^2 0.8^2 \approx 0.113$ e $P(W|\neg bio) = 0.5^2 0.6^2 0.7^2 \approx 0.044$, y

$$ P(bio|W)=\frac{P(W|bio)*P(bio)}{P(W|bio)*P(bio)+P(W|\neg bio)*P(\neg bio)} \\ \approx \frac{0.113*0.1}{(0.113*0.1)+(0.044*0.9)} \approx 0.22$$

Sin embargo es este el mismo que el de su paso por paso el proceso? No sé la respuesta a esa improviso... tal vez alguien más familiarizado con Bayesiano de modelos puede responder a eso? (Y si las dos respuestas no son equivalentes, entonces, que uno es "correcto"?)