Habida cuenta de 10 dígitos, ¿de cuántas maneras pueden ser dispuestos de modo que dos probabilidades no pueden ser adyacentes?

Question

Dado $10$ dígitos, donde cada dígito puede ser un entero de $0$ a $9$, ¿cómo puedo determinar el número de formas de organizar los números de modo que dos probabilidades no son adyacentes?

La repetición de dígitos no está permitido.

Hasta ahora, he calculado el número total de posibilidades: $$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 10!$$

Entonces yo había planeado para restar el número de la mala posibilidades de que el número total de posibilidades.$$10! - X$$ Where $X$ is all the bad possibilities, which means $X$ is all the possibilities where two odds could be next to each other in the $10$ dígitos.

Sé que para cada número, $5$ de probabilidades puede ser seleccionado, ¿cómo puedo utilizar esta información para averiguar la respuesta a la pregunta?

Answer 1

Deje $O$ e $E$ ser los números pares y los impares, respectivamente.

El extraño dígitos $1,3,5,7,9$.

Los dígitos se $0,2,4,6,8$.

$_E_E_E_E_E_$

Si usted está rellenando los números impares en cualquier $5$ espacios en blanco ofrece un número requerido.

Hay $6$ espacios en blanco. Por lo que el número de maneras de seleccionar $5$ espacios entre $6$ espacios de $=6C5 =6$.

Número de posibles arrastrando los pies en $5$ número impar es $=5!=120$.

De nuevo,el Número de posibles arrastrando los pies en $5$ número par es $=5!=120$.

Así el número total de posibilidades es $=6×120×120=86400$.

Answer 2

Hay seis diferentes asignaciones admisibles de impar ( ) e incluso ( ) números:

Para estos arreglos de paridad hay <span class="math-container">$5!$</span> maneras de fijar los números impares y el mismo número de maneras de arreglar los números. Así hay formas de <span class="math-container">$6×5!×5!=86400$</span> .

Answer 3

Esto es casi igual que las anteriores respuestas, pero me voy a presentar en un (posiblemente) menos de fuerza bruta manera.

Primero hemos de observar que si la dividimos los dígitos en cualquier válido permutación en 5 pares, cada par debe tener exactamente 1 impar y 1 dígitos, por lo contrario, debe haber al menos un (raro, raro) par. (Una desordenada par sólo puede ser (raro, incluso), (incluso, incluso) y (raro, raro). Si (incluso, incluso), ya que los números pares y nones dígitos son los mismos (5), no debe ser un (raro, raro) par a el equilibrio de la misma.)

Ahora fijar el impar de dígitos $1, 3, 5, 7, 9$ y asignar a cada dígito incluso un dígito. Así que hay $5!$ formas de asignar los dígitos.

Ahora tenemos $5$ (raro, incluso) pares. A permutate ellos tenemos otro $5!$ maneras.

A continuación, vamos a combinar los pares. Puesto que no hay dos dígitos impares pueden ser adyacentes, se observa lo siguiente: si el anterior par (par, impar), entonces el siguiente par debe ser (par, impar). De lo contrario, podemos optar por tener (par, impar) o (raro, incluso).

Por lo tanto podemos "cambiar" (par, impar) en cualquiera de los 5 pares, y nos puede cambiar en más de una vez. El resto de posibilidad es la de no cambiar en absoluto. Por lo tanto para cada par contiene 5 pares, hay un total $6$ de conmutación de posibilidades.

De ello se deduce que el número de permutaciones es $5!\times5!\times6 = 86400$.