No es claro para mí lo que realmente se entiende por la segunda fórmula. Más precisamente, ¿qué es $$\phi(x,y) =\int \int f(x,y) d\,x d\,y $$ supposed to mean? Note that on both sides $x$ and $s$ are used for the variables, but in a totally different context. Once you fix the domain on the rhs, it does not even depend on $x$ or $$y.
El autor de el texto de su segundo enlace está señalando es bastante descuidado con respecto a dependend y las variables independientes.
Yo también estoy bajo la impresión de que hay un error en su reaoning. En la ecuación 3-27 afirma que
$$v(x,y) = \int v_x(x,y) d\, x + C(x)= \int v_y(x,y) d\, y + C(x) $$
con una función de $C$ (una única función!) dependiendo $x$ solo.
Ignorando por un momento lo que estas integrales se podría decir que vamos a mirar un poco más en lo que es realmente cierto. Tenga en cuenta que
$$v(s,t) =\int_{s_0}^s v_y(x,t) d\, y + v(s_0,t) = \int_{t_0}^t v_x(s,y) d\, x + v(s,t_0)$$
(suponiendo que el dominio en que $v$ es definido permite escribir estas integrales).
Esto demuestra que, cuando se integran wrt $x$ asumido la función de $C$ depende de la segunda variable libre, mientras que, cuando se integran wrt $y$, que la función va a depender de la primera variable, y las dos funciones no significa que sea igual a la otra.
La demanda en 3-27, por lo tanto, no es correcto en la forma en que se afirma.
No voy a responder a la pregunta acerca de la fórmula que está después, pero yo no sé cuál es la fórmula que realmente significa y hay al menos un error en el intento de derivar de él, así que yo no confiaría en él.
Más bien, me suggeest para intentar descifrar la fórmula de sí mismo, con algo más de cuidado prestado a la diferencia entre dependientes e independientes de la variable.
