He aquí uno de los primeros ejemplos que yo he encontrado útil, y que he empleado constantemente a lo largo de mi educación matemática. El hecho básico es que la izquierda adjunto functors preservar colimits y derecho medico adjunto functors preservar límites. Al azar ejemplos de la parte superior de mi cabeza:
- Un extremadamente ejemplo concreto: la inclusión de la poset $\mathbb{Z}$ en el poset $\mathbb{R}$ tiene una izquierda y una derecha adjunto, dada por el techo y el piso funciones respectivamente (ejercicio). Esto significa que se conserva límites y colimits, que para posets se cumple / infima y se une a / suprema respectivamente.
- El grupo de free functor es un adjunto a la izquierda, por lo que envía discontinuo de la unión (el subproducto de conjuntos) para un producto libre (el subproducto de grupos). Por ejemplo, el grupo libre $F_2$ en dos generadores es el producto de dos copias de la libre grupo de $\mathbb{Z}$ en un generador.
- De manera más general, el olvidadizo functor de una categoría de objetos algebraicos (grupos, anillos, módulos) establece normalmente tiene un adjunto a la izquierda, el libre correspondiente a functor. Esto significa que el olvidadizo functor preserva límites, por lo que los límites de los objetos algebraicos, cuando existen, pueden calcularse como límites de los conjuntos.
- La inclusión de gavillas en presheaves es un derecho adjuntos, por lo que preserva límites. Esto implica que los límites de las poleas, cuando existen, pueden calcularse como límites de presheaves, que son fáciles de calcular porque están calculadas pointwise. (Colimits son más difícil.)
- Tensor de producto, en la mayoría de sus encarnaciones, es un adjunto a la izquierda, por lo que conserva colimits. Por ejemplo, la extensión de escalares conserva directa sumas y cokernels. Esto significa que es la izquierda exacta y, por tanto, tiene derecho derivado de functors.
El concepto de adjoint functors es útil para mucho más que esto, sin embargo. Se capacita a usted para buscar que las construcciones matemáticas puede ser expresado como functors, de modo que usted puede entonces hacer la pregunta de si han adjoints, que si que existen pueden ser interesantes nuevas construcciones matemáticas. En otras palabras, el concepto de adjoint functors es una fuente fecunda de preguntas además de las respuestas.
