Natural transformaciones formalizar la idea intuitiva de que una de morfismos $F(X) \to G(X)$ se define "independientemente de $X$".
Creo que para los recién llegados a la categoría de teoría, un buen ejemplo es el natural de morfismos $V\to V^{**}$ para un espacio vectorial $V$, en contraposición a $V\to V^*$ (donde $V^*$ es el doble de $V$, es decir, el espacio vectorial lineal de las formas en $V$ - para un campo fijo $k$)
La costumbre de morfismos $V\to V^{**}$ se define como sigue : $x\mapsto (ev_x : l\mapsto l(x))$.
En un sentido, esta definición no hace ninguna apelación a la specificness de $V$: sólo se define mediante la composición y el conocimiento acerca de lo que es un espacio vectorial. "No hemos hecho ninguna elección" en la definición.
Comapre a las formas usuales para definir morfismos $V\to V^*$. A menudo, lo que uno hace para mostrar que ellos son isomorfos en dimensiones finitas es empezar con una base de $V$ $(e_1,...,e_n)$ y definen $e_i^*: V\to k$ a ser de la forma lineal de asignar a un vector $v$ su $e_i$ de coordenadas; y, finalmente, definir $V\to V^*$ por $e_i\mapsto e_i^*$.
En esta definición que hemos hecho la elección de la base de $V$ y en un sentido, se han utilizado las especificidades de $V$ a definir.
Esto se refiere a la definición de una transformación natural en que la plaza que se requiere para conmutar para una transformación natural $\eta : F\implies G$,
$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
F(X) @>{\eta_X}>> G(X);\\
@VVV^{F(f)} @VVV^{G(f)} \\
F(Y) @>{\eta_Y}>> G(Y);
\end{CD}$
significa que, "como $X$ varía, $\eta_X$ varía junto con él". Usted puede hacer una analogía con la topología diciendo que esta $\eta_X$ "que varía continuamente con $X$".
Se puede ver claramente que esta plaza se detecta la elección de una base para mi segundo ejemplo, porque la elección de una base no será "coherente" entre dos espacios vectoriales $V,W$ y un morfismos $f:V\to W$. Pero para la primera de morfismos $V\to V^{**}$, ya que no hemos hecho la elección, este morfismos será "coherente" con cualquier mapa $f:V\to W$.
Otro buen ejemplo es el habitual nautral isomorfismo $2^X\to \mathcal{P}(X)$ para un conjunto $X$ , el cual es definido por $f\mapsto f^{-1}(\{1\})$. Una vez más, usted puede ver que esta morfismos puede ser definido sin saber nada acerca de la $X$.
La intuición "que no puede ser definida sin saber nada acerca de $X$" puede ser visto como : no estamos definiendo un mapa de $F(X)\to G(X)$, realmente, lo que estamos haciendo es definir un mapa de $F(-)\to G(-)$ ; y si nuestra definición no es "coherente entre todos los objetos", no sería un no conmutativa de la plaza que podría detectar este
