9 votos

¿Los números primos mediante la simple adición de compresión?

Considere los conjuntos de números enteros $$ Un = \{1, 3, 7, 13, 27\} \\ B = \{4, 10, 16, 40, 100\} $$

Elementwise addition of sets $A, B$ looks like $a + B := \{ a + b: \en a, b \in B\}$.

Now elementwise-add them to form $a + B$. Aquí está el resultado: $$ \begin{matrix} + & 1 & 3 & 7 & 13 & 27 & \\ 4 & 5 & 7 & 11 & 17 & 31 & \\ 10 & 11 & 13 & 17 & 23 & 37 \\ 16 & 17 & 19 & 23 & 29 & 43 \\ 40 & 41 & 43 & 47 & 53 & 67 \\ 100 & 101 & 103 & 107 & 113 & 127\\ \end{de la matriz} $$

As you can see, this doesn't perfectly list the first $n$ primes since $59$ is missing.

Can you come up with two sets of integers $a, B$ such that $ + B$ consists only of prime numbers and such that $a|a + B| \gt 20$. In other words, can you beat me in my example above?

Thus, if we don't examine the size of the integers involved in the above matrix, we've effectly compressed $n^2 - n$ primes into $2n$ numbers where $n = 5$. Yo no sé ustedes, pero a mí eso parece bastante interesante!


Continuando desde arriba (lápiz y papel): $$ \begin{matrix} + & 1 & 3 & 7 & 13 & 27 & 57 &\\ 4 & 5 & 7 & 11 & 17 & 31 & 61\\ 10 & 11 & 13 & 17 & 23 & 37 & 67\\ 16 & 17 & 19 & 23 & 29 & 43 & 73\\ 40 & 41 & 43 & 47 & 53 & 67 & 97\\ 100 & 101 & 103 & 107 & 113 & 127 & 157\\ \end{de la matriz} $$


Here's a script you can play with:

from sympy.ntheory import prime, isprime

# Seed with whatever you want:
A = [1, 3, 7]
B = [4, 10, 16]

M = 1000

for k in range(0, M):
    if k % 2 == 0:
        b = max(B) + 1
        for n in range(b, b + M):
            for a in A:
                if not isprime(a + n):
                    break
            else:
                B.append(n)
                break
    else:
        a = max(A) + 1
        for n in range(a, a + M):
            for b in B:
                if not isprime(b + n):
                    break
            else:
                A.append(n)
                break


def elementwise_add(A, B):
    C = set()
    for a in A:
        for b in B:
            C.add(a + b)
    return list(C)

print(A)
print(B)
C = elementwise_add(A, B)
C.sort()
print(C)

Outputs:

[1, 3, 7, 13, 27, 63, 97]
[4, 10, 16, 40, 100, 346, 1090, 1426]
[5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 67, 73, 79, 101, 103, 107, 113, 127, 137, 163, 197, 347, 349, 353, 359, 373, 409, 443, 1091, 1093, 1097, 1103, 1117, 1153, 1187, 1427, 1429, 1433, 1439, 1453, 1489, 1523]

Did some thought on the problem:

Ease the constraints some, and allow $0, \pm 1$ into the result set of $ + B$.

Take a finite subsquare of the composition group law for $(\Bbb{Z}, +)$. For example:

$$ \begin{matrix} -2 & (-1) & 0 & 1 & 2 & (3) & 4 & (5) \\ -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 6 & (7) & 8 & 9 & 10 & (11) & 12 & (13) \\ \vdots \\ 12 & (13) & 14 & 15 & 16 & (17) & 18 & (19) \\ \end{de la matriz} $$

First, assume that $7$ is in $Un$ and highlight the prime columns with parentheses like above. Those are the only columns that you can select from to fill out $B$. Since we don't want to delete anything from $$, resalte todas las filas tal que las filas primer columnas contienen fila "7"s primer columnas. Esto se hace en la tabla de arriba.

2voto

Adil Mehmood Puntos 182

<span class="math-container">$|A|=|B|=8,\space |A+B|=64$</span>

He aderezado un poco pequeño, los números en cada fila son primos consecutivos.

<span class="math-container">\begin{matrix} & 165523 & 165527 & 165533 & 165541 & 165551 & 165553 & 165559 & 165569 \ \ +1099560& 1265083 & 1265087 & 1265093 & 1265101 & 1265111 & 1265113 & 1265119 & 1265129 \ +6067230& 6232753 & 6232757 & 6232763 & 6232771 & 6232781 & 6232783 & 6232789 & 6232799 \ +16348200& 16513723 & 16513727 & 16513733 & 16513741 & 16513751 & 16513753 & 16513759 & 16513769 \ +41967240& 42132763 & 42132767 & 42132773 & 42132781 & 42132791 & 42132793 & 42132799 & 42132809 \ +56322420& 56487943 & 56487947 & 56487953 & 56487961 & 56487971 & 56487973 & 56487979 & 56487989 \ +65835840& 66001363 & 66001367 & 66001373 & 66001381 & 66001391 & 66001393 & 66001399 & 66001409 \ +92498820& 92664343 & 92664347 & 92664353 & 92664361 & 92664371 & 92664373 & 92664379 & 92664389 \ +95634000& 95799523 & 95799527 & 95799533 & 95799541 & 95799551 & 95799553 & 95799559 & 95799569 \end{matriz}</span>

1voto

Marco Puntos 461

Aquí está un ejemplo, si estamos requiriendo sólo de $A+B$ constan de números primos (y no es la primera $n$ de los números primos).

Deje $Q_n=\{a_1,\ldots, a_n\}$ ser un conjunto de números primos tales que $a_i \equiv 1 \pmod {10}$ e $a_{i}+2$ es también una excelente. El uso de un doble del primer cuadro, esto es fácil de obtener. Por ejemplo, podemos dejar $$Q_{10}=\{11, 71, 101, 191, 281, 311, 431, 461, 821, 881\}.$$ A continuación, vamos a $A=\{1,3\}$ e $B=\{a-1: a \in Q_n\}$, e $A+B$ va a consistir exactamente 20 números primos.

Ya que hay arbitrariamente larga progresiones aritméticas de números primos, teóricamente, uno debe ser capaz de hacer $A$ e $B$ tener cualquier tamaño.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X