$7^x-3^y=4$ en los enteros

Question

Tengo que encontrar todas las soluciones a $7^x-3^y=4$ en los enteros, ya he probado que la $x$ e $y$ tienen la misma paridad y que no pueden ser incluso. Pero estoy atascado en el caso de $x$ e $y$ son impares. Es posible que alguien me muestre cómo resolver para todas las soluciones? Sé que hay al menos uno, $(x,y)=(1,1)$, pero no sé si hay alguna otra solución

Answer 1

Si $y\leq 1$, la única solución es $(1,1)$, la cual se encuentra. Si $y\geq 2$, entonces se debe considerar la ecuación de $\bmod 9$. Vemos

$$7^x\equiv 4\bmod 9$$

Tenemos

$$7^0\equiv 1,\ 7^1\equiv 7,\ 7^2\equiv 4,\ 7^3\equiv 1,$$

por lo $7^x\equiv 4\bmod 9$ fib $x\equiv 2\bmod 3$. Como resultado, tenemos $x\equiv 5\bmod 6$ (como ya se ha mostrado $x$ es impar). Así que, como

$$7^{12}\equiv 1\bmod 13,$$

tenemos

$$7^x\equiv 7^5\mathrm{\ or\ }7^{11}\equiv \pm 2\bmod 13$$

desde $x\equiv 5\bmod 6\implies x\equiv 5\mathrm{\ or\ }11\bmod 12$. Esto significa que

$$3^y=7^x-4\equiv (\pm 2)-4\in\{7,11\}\bmod 13.$$

Sin embargo

$$3^0\equiv 1,3^1\equiv 3,3^2\equiv 9,3^3\equiv 1\bmod 13,$$

así que tenemos una contradicción.

Answer 2

En primer lugar demostrar que si x y y tienen un divisor común como la c, a continuación, un número como $a^x-b^y$ tiene un factor como $a-b$(esto no significa que si x e y no tienen en común divisor $a^x-b^y$ definitivamente no tiene ningún divisor común como $a-b$):

Sabemos que:

$(a^x-1, a^y-1)=a^c-1$

$(b^x-1, b^y-1)=b^c-1$

Ahora tome un decir $a^x-1$ que tiene un factor como $a^c-1$ e $b^y-1$ que tiene un factor como $b^c-1$ y restar ellos:

$gcd(a^x-b^y)≡a^c-b^c=(a-b)(a^{c-1}+a^{c-2}b+ . . .)$

De modo que podemos escribir:

$a^x-b^y=k(a-b)$

Es claro que para un determinado conjunto de valores de a, b,x e y existe sólo una k para satisfacer esta relación. Por lo tanto, hay infinitamente muchos de esos relación única para ciertos valores de los parámetros. Esto significa que la ecuación de $7^x-3^y=4$ en que $a=7,. b=3,. $ e $k=1$ son algunos de los valores tiene una única solución $x=y=1$.