¿Cómo evaluar...

Question

Necesito evaluar$$\sum_{n=1}^m 2^n \arctan 2^n \theta$$ as a function of $ m$ and $ \ theta $. Todo lo que he hecho hasta ahora es escribir explícitamente la serie:

PS

e inicialmente consideré el emparejamiento cada dos términos hasta usar el truco$$\sum_{n=1}^m 2^n \arctan 2^n \theta = 2 \arctan 2\theta + 4\arctan 4\theta + 8\arctan 8\theta + \cdots + 2^m \arctan 2^m \theta$, pero no funciona porque cada término$\arctan x + \arctan y$ tiene un coeficiente diferente.

Answer 1

No por nada, pero en caso de que el OP realmente quiera evaluar.

PS

entonces usa el hecho de que

PS

y deja $$\sum_{n-1}^m 2^n \tan{2^n \theta} $. En este caso, obtenemos una suma telescópica con el resultado.

PS