Diferencia entre $F[x]$ y $F(x)$

Question

En términos de notación, ¿cuál es la diferencia entre $F[x]$ y $F(x)$? ¿Es $F[x]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $F$, y $F(x)$ el campo de funciones racionales con coeficientes en $F$?

Estoy preguntando porque estoy tratando de determinar si esta afirmación es verdadera o falsa:

Un elemento del campo $F(x)$ de funciones racionales es trascendental sobre $F$ si y solo si no está en $F$

y no estoy seguro de qué significa que un elemento de $F(x)$ no esté en $F$.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Estás en lo correcto acerca de las definiciones. Un elemento de $\mathbb R(x)$ que no está en $\mathbb R$ es por ejemplo $3x$. El $3$ estaría en $\mathbb R$ y $\mathbb R(x)$ al mismo tiempo.

En general, $F(x)$ contiene $F[x]$, que a su vez contiene a $F$.