Polinomio con coeficientes enteros de grado d

Question

Sea$P(X)$ un polinomio con coeficientes enteros de grado$d>0$.

$(a)$ Si$\alpha$ y$\beta$ son dos enteros tales que$P(\alpha)=1$ y$P(\beta)=-1$, entonces demuestre que$|\beta - \alpha|$ divide$2$.

$(b)$ Demuestre que el número de raíces enteras distintas de$P^2(x)-1$ es la cantidad máxima$d+2$.

Deje que$P(X)=a_0+a_1x+a_2x^2+... +a_dx^d$ donde$a_0, a_1,..., a_d$ esté integrado. Entonces $P(\alpha)-P(\beta)=a_1(\alpha-\beta)+a_2(\alpha^2-\beta^2)+... a_d(\alpha^d-\beta^d)$. Está claro que$\alpha-\beta$ divide$P(\alpha)-P(\beta)$. No puedo resolver la segunda parte. ¿Algunas ideas? Gracias.

Answer 1

Como ya se ha comentado, consideramos que las raíces de $P(x)=1$$P(x)=-1$. Si las raíces son únicamente una de las ecuaciones, entonces hemos terminado. Supongamos ahora que están las raíces de ambas ecuaciones. Podemos imaginar que una solución de la primera ecuación como un blanco(W), bola, una solución de la otra ecuación como un negro(B) la bola. Aviso de $|\alpha-\beta|$ divide 2, si la solución B exsits, hay 4 soluciones W exsit, es decir, B-2,B-1,B+1,B+2, de lo contrario la distancia es mayor de 2. Tenemos los siguientes casos:

1. Todos los 4 de soluciones W existir. En este caso, no podemos encontrar otra solución B, ya que la distancia de algunas de W y el nuevo B siempre será mayor que 2. Por lo tanto, tenemos en la mayoría de las $d+1$ soluciones, es decir, $d$ a partir de la primera y 1 en el segundo.

2. 3 soluciones W existir. Hay dos casos: WWBW* o WWB*W, donde * significa que este número no es la solución de los dos equaitons. En el primer caso, es imposible dar una nueva B, y tenemos en la mayoría de las $d+1$ soluciones; en el segundo caso, tenemos a la mayoría de una solución de $B-1$, y no podemos ya encontrar soluciones de B. por lo Tanto, tenemos en la mayoría de las $d+2$ soluciones.

3. 2 soluciones W existir. Hay 3 posibilidades: $*WBW*, W*BW*,W*B*W,WWB**$. En el primer y tercer caso, no se puede agregar uno más B solución, por lo tanto, tenemos en la mayoría de d+1 soluciones. En el segundo caso, podemos agregar que en la mayoría de uno de los más B solución, y nos tienen en la mayoría de d+2 soluciones. En el cuarto caso, tenemos a más de uno más B solución, es decir, BWWB, y no se puede agregar más B solución. Tenemos que en la mayoría de d+2 soluciones.

4. 1 solución W existir. Es entonces WB. Ahora tenemos 3 posibilidades para añadir nueva solución B: $B*WB*,*BWB*,**WBB$, pero este volver a la anterior, y podemos añadir a lo más 2 más W soluciones, y por lo tanto, tenemos en la mayoría de los d+2 soluciones. Esto completa la prueba.

Answer 2

Sugerencia: $$P^2(x)-1=(P(x)+1)(P(x)-1)$ $$$(P(x)+1)(P(x)-1)=0$ $

$$a_0-1+a_1x+a_2x^2+....+a_dx^d=0\tag{d roots possible}$ $$$a_0+1+a_1x+a_2x^2+....+a_dx^d=0\tag{d roots possible}$ $