Para empezar, vamos me disculpo por mi ignorancia, como puedo saber nada acerca de las ecuaciones diferenciales parciales. Mi pregunta es sobre el producto tensor de espacios de Banach, pero en realidad no entiendo esas, así que permítanme reformular como un espacio de Hilbert pregunta. Bien! Consideremos el Lebesgue espacio de Hilbert $L^2(X)$, y por qué no también las $L^2(Y)$ donde $X$ $Y$ son los dominios de nuestras respectivas funciones.
Ahora el producto tensor de $L^2(X) \otimes L^2(Y)$ es fácil de ver para ser el cierre del espacio de las funciones que tiene la forma $fg$ donde$f$$L^2(X)$$g$$L^2(Y)$. Perfecto. Esto es, por supuesto (los espacios de Banach para pensar isomorfo) también es igual a $L^2(X \times Y)$. Nada interesante por aquí. (Para una interesante discusión relacionada con echa un vistazo a mi pregunta de la Secuencia de funciones medibles y la excelente respuesta por Nate que le da un par de herramientas muy interesantes.)
Así que permítanme comenzar con un buen PDE. La ecuación de Poisson. $\Delta u = -f$ donde - si usted tiene una inclinación a pensar en términos prácticos, puede ver $f$ como un normalizada la carga de la función de densidad de y, a continuación, $u$ sería el potencial de esta densidad de carga nos da.
Así que, ¿de dónde viene nuestra solución en vivo? Como $u$ sería la convolución con la así llamada solución fundamental de la ecuación de Laplace, esto significaría que la solución de $u$ es al menos tan suave como la $f$ sí (que es la razón por la que me llevó a esta ecuación...). También, si nos fijamos en el conjunto de la $\mathbf R^3$ podríamos tener un problema con la integrabilidad: el principio del máximo estado que si la función sería limitada (como si hubiera compacto apoyo y $f$ continua), entonces sería una constante. Que se mete hasta la integrabilidad. Así como yo no sé nada acerca de estas cosas que nos acaba de considerar el dominio de la unidad de cubo de $Q$. Integrable seguro!
Así que la solución sería vivir en $L^2([0,1])$ tensored con sí mismo tres veces. En realidad, todos sus derivados debe ser en este espacio, así que tenemos el espacio de Sobolev $W^{2, 2}(Q)$ si tomamos $f$ al menos $C^2$. También, como tengo poco que se muestra aquí (necesidad de restringir) aquí (para $L^2$ también puede utilizar Plancherel) esto es igual a la $L^2$ espacio cruzaba con la $L^2$ funciones que han de Laplace, así como en $L^2$.
Ahora la pregunta...
Como he preguntado antes en No-separables lineal de la PDE y acerca de la excelente respuesta de Willy me preguntaba acerca de las soluciones en estos espacios.
Si queremos resolver, por ejemplo, la ecuación del calor por separación de variables en una 1D-calor bar nos encontramos con dos Odas tanto la posición de la variable y la variable de tiempo. Estos pertenecen a un conjunto simultáneo de autovalores $\lambda_n$, y tienen sus correspondientes soluciones $s_n$$t_n$. Luego construimos la solución $$u = \sum_n \lambda u_n t_n.$$ Pregunta: Esta es una solución en el espacio del producto. Lo que hace que uno no puede escribir a posteriori una solución de una no-separables ecuación de esta manera? La simultánea $\lambda_n$ no corresponde a esta ecuación?
Las omisiones y los errores son únicamente debido a mi falta de comprensión y/o falsa. Agradezco cualquier comentario constructivo.
Oh blimey... Por ahora, déjenme hacer más abstracto a encontrar mi fuente de malentendidos. Deje $H_1$ $H_2$ ser espacios de Hilbert. Un simple tensor (tensor de rango uno) $x_1 \otimes x_2$ es la identificación de $x_1$ con su doble elemento $x_1^*$. Como $x_1 \times x_2$ donde$x_1$$H_1$$x_2$$H_2$. A continuación, el producto interior definido en $H_1 \otimes H_2$ está dado por $$\langle u_1 \otimes u_2, v_1 \otimes v_2 \rangle = \langle u_1, v_1 \rangle_{H_1} \langle u_2, v_2 \rangle_{H_2}.$$ Siguiente, se extienden por la linealidad y completa conforme a este producto interior.
De manera más abstracta, para cada una simple tensor $x_1 \otimes x_2$ asociado al rango de un operador $$ \begin{align} T:H_1^* &\to H_2\\ x^* &\mapsto x^*(x_1) x_2. \end{align} $$ Podemos usar esto para construir un mapeo lineal entre el $H_1 \otimes H_2$ y el espacio finito de rango operadores de$H_1^*$$H_2$. Estos son un subespacio de Hilbert-Schmidt a los operadores que tiene el producto escalar de una base ortonormales $(e_n)$$H_1$, $$\langle \Lambda_1, \Lambda_2 \rangle = \sum_n \langle \Lambda_1 e_n^*, \Lambda_2 e_n^*\rangle.$$ Por lo tanto, podemos identificar el producto tensor $H_1 \otimes H_2$ como la de Hilbert Schmidt operadores de$H_1^*$$H_2$.
También a mi conocimiento, cada vez los espacios son separables: $$L^2(X) \otimes L^2(Y) \cong L^2(X \times Y) \cong L^2(X; L^2(Y)).$$
Por lo tanto, si he a$f$$L^2$$g$$L^2$, entonces el conjunto de $fg$$L^2 \otimes L^2$. Además, es un denso conjunto en $L^2(X \times Y)$.
