¿Podría alguien ayudarme con esto?
Supongamos que P es un polígono regular de 11 lados y que S es el conjunto de todas las líneas que contienen dos vértices distintos de P. Si se eligen al azar tres líneas de S, ¿cuál es la probabilidad de que las líneas elegidas contengan un par de líneas paralelas?
Sugerencia: Deja que $L$ sea el número de líneas (que se puede calcular fácilmente). Como cada línea es paralela a un único lado de la $11$ -gon, se dividen en $~11$ clases de tamaño $L/11$ según su dirección. Para contar cuántos entre los $\binom L3$ contienen al menos un par paralelo, se puede restar de $\binom L3$ el número de opciones que evitar cualquier pareja paralela. El número se obtiene multiplicando el número $\binom{11}3$ de opciones de $3$ distintas direcciones por el número $(L/11)^3$ de elecciones de una línea de cada clase de dirección.
$S$ es un conjunto de ${11 \choose 2}$ líneas.
El espacio de probabilidad en el que se trabaja es ${ {11 \choose 2} \choose 3} $ conjunto de triples de líneas (el orden no es relevante).
Una pista: Utiliza el Principio de Inclusión y Exclusión para contar el número de triples que tienen al menos 1 par de líneas paralelas.
Una pista: Calcule la probabilidad como éxito / resultados.
Bien, es un polígono de 11 lados. por lo que hay 11 vértices. S es el conjunto de todas las líneas que contienen dos vértices distintos de P. entonces, el total de líneas en S, o se puede decir que el total de elementos en S son : $$ \binom{11}2 \qquad\text{no of ways of choosing $ 2 $ vertices out of $ 11 $} = 55 $$ total de pares de líneas = $\binom{55}2 = 1485$
Ahora, número de pares de líneas paralelas para cada arista posible = $$ \binom{\lfloor n/2\rfloor - 1}2 = \binom42= 6. $$ por lo que para $11$ bordes, = $66$
Obsérvese que para un número par de lados en el polígono, el número de pares de líneas paralelas será la mitad de los calculados por la fórmula anterior, porque cada par se repetirá para las aristas paralelas.
probabilidad de que el par elegido sea paralelo, es $66/1485 = 0.0444444$
Utilice la distribución de Poisson con $\lambda$ como $.044444$ , probabilidad = $0.04251$ .
Pero estás eligiendo tres líneas. La probabilidad que has calculado es para elegir un par de líneas paralelas. La pregunta que se hace es que elijas al azar 3 líneas y que contenga exactamente un par de paralelas. Estoy de acuerdo con Steven en que el espacio de probabilidad es 55C3. Cada arista tendrá 4 líneas paralelas y sólo eso. Las líneas formadas por otros vértices no son paralelas a ninguna otra.
Por lo tanto, la respuesta que creo es
11C1*5C2*50C1/55C3 = 100/477. El racional es 11C1 es la elección que haces de 11 conjuntos de 5 líneas paralelas (incluyendo el borde). Eliges 2 de estas 5 y por tanto 5C2 y la otra línea la eliges entre 50 líneas que no son paralelas al par elegido.
Hazme saber si mi razonamiento es correcto, Mark.
Gracias
Satish
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