Equivalencia de Dirichlet densidad asintótica y la densidad de

Question

Deje $A, B$ ser subconjuntos de los números naturales con $A \subseteq B$. La asintótica de la densidad de $A$ en $B$ $$\lim_{N\to \infty}\frac{\text{number of elements of }A\text{ below }N}{\text{number of elements of }B\text{ below }N}.$ $ La de Dirichlet densidad es

$$\lim_{s\to 1^+}\frac{\sum\limits_{n\in A}n^{-s}}{\sum\limits_{n\in B}n^{-s}},$$

con $s$ ir $1$ desde la derecha, por lo que las cantidades son limitadas. Quiero demostrar que si los naturales existe la densidad, entonces la densidad de Dirichlet también existe y es el mismo. Un papel por Bell y Burris prueba de ello en un contexto más general, pero es un poco implicado. Lang dice que este es "un ejercicio fácil", así que me debe faltar algo. Alguien me puede ayudar?

Gracias.

(Edit: se me olvidó decir que también requieren de $\sum_{n\in B} n^{-1} = \infty$, de lo contrario, hay evidencia de que los contraejemplos.)

Answer 1

La sugerencia es correcta.

1. Para cada $A\subseteq\mathbb N$$n\geqslant0$, vamos a $N^A_n$ indicar el número de elementos de a$A$$1$$n$. Entonces $$ D_A(s)=\sum\limits_{n\in A}n^{-s}=\sum\limits_{n\geqslant1}n^{-s}\cdot(N^A_n-N^A_{n-1})=\sum\limits_{n\geqslant1}(n^{-s}-(n+1)^{-s})\cdot N^A_n. $$
2. Suponga $A\subseteq\mathbb N$ $B\subseteq\mathbb N$ son tales que $N_n^A\leqslant uN_n^B+v$ por cada $n$, luego $$ D_A(s)\leqslant\sum\limits_{n\geqslant1}(n^{-s}-(n+1)^{s})\cdot(onu^B_n+v)=uD_B(s)+v. $$
3. Asumir desde ahora que la asintótica de la densidad de $A\subseteq\mathbb N$$B\subseteq\mathbb N$$\delta$. A continuación, para cada $u<\delta<u'$, existe alguna finito $v$ $v'$ tal que $uN^B_n+v\leqslant N^A_n\leqslant u'N_n^B+v'$ por cada $n$, por lo tanto $$ u+\frac{v}{D_B(s)}\leqslant\frac{D_A(s)}{D_B(s)}\leqslant u'+\frac{v}{D_B(s)}. $$
4. Cuando $s\to1^+$, $D_B(s)\to D_B(1)$ que es infinito por hipótesis, por lo tanto el límite de puntos de la relación $D_A(s)/D_B(s)$ al $s\to1^+$ entre $u$$u'$. Desde $u$ $u'$ puede estar tan cerca de $\delta$ como uno quiere, esto demuestra que la Dirichlet densidad de $A$ $B$ existe y que el es $\delta$.

Editar La idea de la prueba, si hay uno, es traducir el asintótica hipótesis de que dos secuencias positiva $(x_n)_{n}$ $(y_n)_{n}$ son tales que $\lim \frac{x_n}{y_n}=\ell$ en algunos nonasymptotic de las desigualdades, de la siguiente manera.

En primer lugar, por la definición del límite, para cada $u<\ell<u'$, $uy_n\leqslant x_n\leqslant u'y_n$ para cada $n\geqslant N$. Segundo, considere la posibilidad de $v=-u\max\{y_n\mid n\leqslant N\}$ $v'=\max\{x_n\mid n\leqslant N\}$ por lo tanto $v\leqslant0\leqslant v'$. A continuación, para cada $n\leqslant N$, $uy_n+v\leqslant0$, $v'\leqslant u'y_n+v'$ y $0\leqslant x_n\leqslant v'$, por lo tanto $uy_n+v\leqslant x_n\leqslant u'y_n+v'$. Finalmente, $uy_n+v\leqslant x_n\leqslant u'y_n+v'$ por cada $n$.