Cómo probar$\frac{\sin{a}-\sin{c}}{a-c}>\frac{\sin{b}-\sin{d}}{b-d}$

Question

Pregunta:

deje que$a,b,c,d$ tal$0<a<b<c<d<\pi$, muestre que$$\dfrac{\sin{a}-\sin{c}}{a-c}>\dfrac{\sin{b}-\sin{d}}{b-d}$ $

Mi idea: si usamos el teorema del valor medio, entonces exsit$$\xi\in(a,c),\eta\in(b,d)$ $ como$$\cos{\xi}=\dfrac{\sin{a}-\sin{c}}{a-c},\cos{\eta}=\dfrac{\sin{b}-\sin{d}}{b-d}$ $ pero para$\cos{\xi}$ y$\cos{\eta}$, ¿cuál es mayor? no podemos saber, porque tal vez tenemos$\xi=\eta$.

Entonces, ¿cómo probar esta desigualdad?

Answer 1

Dibuja una figura. Al observar las pendientes de varios segmentos, puede verificar inmediatamente que la concavidad de$\sin$ en el intervalo$[0,\pi]$ implica$${\sin c-\sin a\over c-a}>{\sin c-\sin b\over c-b}>{\sin d-\sin b\over d-b}\ .$ $