¿Cómo muestro que$F(h) = h \circ h$ es un sobreyectivo?

Question

Estamos buscando a una función $F:\mathbb{N}^\mathbb{N}\to \mathbb{N}^\mathbb{N}$ $$F(h)=h\circ h$$ Quiero mostrar que la $F$ no es surjective.

Yo tengo una solución, pero no estoy muy seguro de si esto es una prueba o me acabo de perder algo. Tomemos la función de $h(x)=x$ y alimentar a $F$. Nos pondremos $F(h(x))=h(h(x))$. La función de $h(h(x))$ es siempre igual a $x$. Por eso digo que $F$ no es surjective, porque si yo me alimento de $h(x)$ en algunos valores, como por ejemplo, $t(x)=x^2$ no va a ser golpeado en el codominio, por lo $F$ no es surjective.

Estoy realmente seguro de si este demuestra la declaración. Me siento como que es demasiado fácil. Si es malo, realmente lo apreciaría algunos trucos!

Answer 1

Sí, está mal. Para su función de $h$ (que es la identidad), resulta que $h\circ h=h$; en otras palabras, $F(h)=h$.

Definir $f(n)=n+1$. No es $g\in\mathbb{N}^{\mathbb N}$ tal que $g\circ g=f$. De hecho, en el caso de la función $g$ existía, entonces:

• $g$ sería inyectiva, porque $$g(a)=g(b)\implies g\bigl(g(a)\bigr)=g\bigl(g(b)\bigr)\iff a+1=b+1\iff a=b.$$
• $g$ no sería surjective, porque de lo contrario no sería un $a\in\mathbb N$ tal que $g(a)=1$ y no sería una $b\in\mathbb N$ tal que $g(b)=a$ y, a continuación,$1=g(a)=g\bigl(g(b)\bigr)=b+1$, lo cual es imposible.

Por lo tanto, vamos a $G=g(\mathbb{N})$. Usted sabe que $G\varsubsetneq\mathbb{N}$. Tome $a\in\mathbb{N}\setminus G$. A continuación, no es $b\in\mathbb N$ tal que $g\bigl(g(b)\bigr)=g(a)$ porque $g$ es inyectiva, esto implicaría que $g(b)=a$, lo cual es imposible. Pero entonces, no $a$ ni $g(a)$ pertenecen a la imagen de $g\circ g$. Esto es imposible, porque $g\circ g=f$ y la imagen de $f$$\mathbb{N}\setminus\{1\}$.