supremum como norma

Question

¿Cuál es la intuición que hay detrás de dejar que el límite de la $p$ -norm $(\int |f(x)|^{p}dx)^\frac{1}{p}$ que se definirá como $\sup f$ ?

¿Es esto similar a tomar como funciones medias particulares de Hölder $$M_p(s,t)=\left(\frac{s^p+t^p}{2}\right)^{\frac{1}{p}}$$ las dos funciones $M_{-\infty}(s,p)=\min\{s,p\}$ y $M_{\infty}(s,p)=\max\{s,p\}$ ?

Answer 1

Así es como yo lo veo. Cuanto mayor sea el valor de $p$ más se acentúan los valores grandes de la función: cuando la función es aproximadamente 1, la potencia de $p$ no importa mucho; cuando es inferior a 1, mayor $p$ -valores disminuir la contribución a la integral. Así pues $p \to \infty$ cada vez es mayor la contribución a la integral procedente de las pequeñas regiones en las que la función adquiere sus valores más altos.

Así podemos aproximar intuitivamente $f$ por $\sup f$ en el plató $A$ donde $f$ está cerca de su máximo y $0$ en todas partes, dando $ \Vert f \Vert_p \approx \sup f \cdot\mu (A)^{1/p} \to \sup f$ .

Esto está muy relacionado con los medios de Hölder que has mencionado - hasta el factor de $2^{-1/p}$ el Hölder $p$ -media de ${s,t}$ es sólo el $L^p$ -norma de la función $0 \mapsto s, 1\mapsto t$ en el espacio de medida con dos puntos de medida par; y este factor corrector desaparece cuando $p\to \infty$ .

Answer 2

Supongamos que $f$ es una función simple, es decir $f=\sum_{k=1}^Nc_k\chi_{A_k}$ donde $c_k$ son números reales y $A_k$ conjuntos medibles disjuntos por pares. Entonces $$\lVert f\rVert_{L^p}=\left(\sum_{k=1}^N|c_k|^p\mu(A_k)\right)^{1/p},$$ que es una ampliación de la definición de $M_p$ (con varias entradas, y esto se puede organizar en una combinación convexa, pero no necesariamente con el mismo coeficiente). Así pues, las funciones medias de Hölder describen el comportamiento de $L^p$ para funciones simples, y de todas las funciones medibles acotadas en un espacio de medida finito.