$x,y,z$ son reales no negativos tales que $x+y+z=1$ Encontrar el valor máximo de $$E=x^5y+y^5z+z^5x$$
La única idea que tengo es $E$ puede escribirse como $f(x,y)$ y usar la diferenciación parcial para los máximos... pero es demasiado largo
Dejemos que $x\geq y\geq z$ . Por lo tanto, por AM-GM $$x^5y+y^5z+z^5x\leq(x+z)^5y=5^5\left(\frac{x+z}{5}\right)^5y\leq5^5\left(\frac{5\cdot\frac{x+z}{5}+y}{6}\right)^6=\frac{5^5}{6^6}.$$ En el caso $x\geq z\geq y$ podemos utilizar la misma idea. $$x^5y+y^5z+z^5x\leq x^5z+y^5x+z^5y\leq(x+y)^5z\leq5^5\left(\frac{5\cdot\frac{x+y}{5}+z}{6}\right)^6=\frac{5^5}{6^6}$$ La igualdad se produce para $z=0$ y $y=\frac{x}{5}$ que da la respuesta: $\frac{5^5}{6^6}$ .
¿Puedo saber cómo has escrito $x^5y+y^5z+z^5x \le (x+z)^5y$ ¿Está relacionado con la desigualdad de reordenación
Hola. ¿Hay alguna intuición para estas manipulaciones específicas? ¿O sólo hay que probar hasta que algo funcione?
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¿Sabes cómo utilizar los multiplicadores lagrangianos? Si es así, este problema es un candidato natural para ellos.
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El máximo viene dado por $$\frac{3125}{46656}$$ para $$x=\frac{1}{6},y=0,z=\frac{5}{6}$$
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@Semiclassical: Los multiplicadores de Lagrange no ayudan aquí, porque (i) el álgebra es demasiado complicada; y (ii) aunque pudieras hacer el álgebra, obtendrías un mínimo, no un máximo. (El máximo se alcanza en el límite de la superficie de restricción).
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En general, se puede modificar la prueba de Micheal Rozenberg para deducir que el máximo de $x^my^n+y^mz^n+z^mx^n$ es $\dfrac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$ para números enteros positivos $m,n$ dada la misma restricción en $x,y,z.$