Deje que$f,g[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ sea continuo. $\exists x_n$$\forall n( g(x_n)=f(x_{n+1}))$. Probar $\exists w\in[0,1],f(w)=g(w)$

Question

Me pregunto si tal vez la pregunta se perdió el monotonocity condición en $f$? ($f$ Es monotonoically creciente). Me encontré con la misma pregunta aquí, pero tenía un adicional de $f$ es monótonamente creciente condición:

Si existe secuencia tal que $g(x_n)=f(x_{n+1})$, luego tenemos a $g(x_0)=f(x_0)$ algunos $x_0$

Me pregunto si podemos de alguna manera de deshacerse de esta condición, o si hay un error tipográfico en la pregunta?

Answer 1

Podemos adaptar el argumento en los enlaces de la pregunta. Si no existe $n$ tal que $f(x_n)=g(x_n)$, hemos terminado. Si no existe $n$ tal que $g(x_n) > f(x_n)$$g(x_{n+1}) < f(x_{n+1})$, entonces estamos realizada por el teorema del valor intermedio. Lo mismo es cierto si existe $n$ tal que $g(x_n) < f(x_n)$$g(x_{n+1}) > f(x_{n+1})$.

Por lo tanto, sólo necesitamos considerar los dos casos :

• $g(x_n) > f(x_n)$ todos los $n$ ;

• $g(x_n) < f(x_n)$ todos los $n$ ;

y por simetría sólo se ocupan de la primera. Aquí es donde mi argumento es diferente. En el primer caso, por hipótesis,

$$f(x_n) < g(x_n) = f(x_{n+1}) < g(x_{n+1}).$$

Por lo tanto, las secuencias de $(f(x_n))$ $(g(x_n))$ ambos están en aumento. Pero $f$ $g$ son continuas en un intervalo compacto, por lo que son acotados. Por lo que las secuencias $(f(x_n))$ $(g(x_n))$ ambos convergen, a los números reales $\ell_f$$\ell_g$. Desde $g(x_n) = f(x_{n+1})$, estos límites debe ser el mismo : $\ell_f = \ell_g =: \ell$.

Por último, podemos encontrar un punto límite para $(x_n)$, decir $x$. A continuación, $f(x)$ es un punto límite de $(f(x_n))$, por lo que es igual a $\ell$. Por el mismo argumento, $g(x)=\ell$, así:

$$f(x)=g(x)=\ell.$$